几何分析中若干问题的研究.doc

几何分析中若干问题的研究本论文主要研究了几何分析与Ricci流中的一些重要而有趣的问题,共分为四章：在第一章中,我们首先简单回忆了由R.Hamilton为了解决几何中著名的Poincare猜想于1982年所引入的Ricci流理论.接着我们简要地介绍了本论文各章节的研究背景和研究问题的出发点,并简明扼要的列出了本论文所得到的主要结果.在第二章中,我们建立了在Ricci流下保持不变的一个新的插值曲率条件,我们称为(λ1,λ2)-非负曲率条件,事实上可以证明它是连接众所周知的非负曲率和2-非负曲率的插值曲率条件,特别的,它包含非负曲率和2-非负曲率条件作为它的特殊情形.我们首先利用R.Hamilton,B.Chow和P.Lu建立的关于凸集的极大值原理[17]证明了(λ1,λ2)-非负曲率在Ricci流下是保持不变的,这样作为推论,我们又重新证明了非负曲率和2-非负曲率在Ricci流下的不变性.接着我们证明了(λ1,λ2)-非负曲率条件在Ricci流下的强极大值原理,并且结合C.Bohm和B.Wilking所证明的[1]：具有2-正曲率算子的紧致几-维Riemannian流形,其度量沿规范化Ricci流演化最终会收敛到一个常正曲率的Riemannian度量这一著名结果,证明了具有(λ1,λ2)-正曲率算子的紧致n-维Riemannian流形,其度量沿规范化Ricci流演化最终也会收敛到一个常正曲率的Riemannian度量.在此基础上,我们还得到了具有(λ1,λ2)-非负性的曲率算子其数量曲率所满足的一个刚性性质.在第三章中,我们研究了f-共形Killing向量场,它与函数f以及两个参数α,β有关,是经典的共形Killing向量场的推广.首先通过给定函数f及参数α,β的一些假设,我们得到了f-共形Killing向量场的一些非存在性结果.这样作为推论,我们又重新证明了关于Killing向量场和共形Killing向量场所对应的非存在性结果.同时我们还得到了f-共形Killing向量场空间的一个维数估计.而对对应于调和微分形式的f-共形Killing向量场,在较弱的假设下我们也得到了一个非存在性结果.接着我们将关于共形Killing向量场的Kazdan-Warner等式[51]和Bourguignon-Ezin定理[2]推广到了f-共形Killing向量场上.在此基础上,我们研究了Yamabe孤立子的一个推广：Yamabe孤立子的f-广义解,利用所得到的f-共形Killing向量场的Kazdan-Warner型等式,我们证明了当n≥3时,n-维闭流形上的Yamabe孤立子的f-广义解具有常数量曲率.在第四章中,我们研究了欧氏平面R2上关于凸闭曲线的逆向等周不等式.首先利用Fourier级数的方法,我们分别改进了S.L.Pan,H.Zhang在文[69]中及S.L.Pan,J.N.Yang在文[68]中所得到的两个逆向等周不等式,且我们的方法比文[69]和[68]中的方法更加简洁一些.值得一提的是,我们的结果事实上解决了S.L.Pan,X.Y.Tang和X.Y.Wang在文[66]中所提出的一个猜想.利用Fourier级数的方法,接着我们得到了欧氏平面R2上关于凸闭曲线的一族逆向等周不等式,这族不等式依赖于曲线的周长,曲线所包围区域的面积,曲线曲率中心的轨迹所包围区域的面积以及曲率半径沿曲线的积分.作为这族逆向等周不等式的推论,我们得到了一些新的几何Bonnesen型不等式.在此基础上,我们还研究了本章中所得到的这些逆向等周不等式的稳定性问题,利用Fourier级数的方法,证明了这些逆向等周不等式相对于Hausdorff距离和L2-距离具有很好的稳定性.