贵州省开阳县宅吉中学八年级数学上册 勾股定理中的思想 北师大版.doc

用心爱心专心贵州省开阳县宅吉中学八年级上勾股定理中的数学思想（北师大版）勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征.同学们在学习时不仅要灵活运用该定理及逆定理而且还要注意在解题中蕴涵着丰富的数学思想.比如数形结合思想、转化思想、方程思想等.现举出几例进行分析供同学们参考.数形结合思想例1.在直线L上依次摆放着七个正方形(如图1所示)已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3正放置的四个正方形的面积依次是S、S、S、S则S+S+S+S=.分析:经过观察图形可以看出正放着正方形面积与斜放置的正方形之间关系为:S+S=1;S+S=2;S+S=3;这样数形结合可把问题解决.解:S代表的面积为S的正方形边长的平方S代表的面积为S的正方形边长的平方所以S+S=斜放置的正方形面积为1;同理S+S=斜放置的正方形面积为3故S+S+S+S=1+3=4.二、转化思想例2.如图2长方体的长为15cm宽为10cm高为20cm点B离点C的距离是5cm一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点C需要爬行的最短路径是多少?分析:蚂蚁实际上是在长方体的侧面上爬行如果将长方体的侧面展开(如图2-1)根据“两点之间线段最短.”所以求得的路径就是侧面展开图中线段AC之长但展开方式有3种这样通过侧面展开图把立体图形转化为平面图形构造成直角三角形利用勾股定理便可求解.解:如图所示把长方体展开后得到如图2-1、图2-2、图2-3三种情形蚂蚁爬行的路径为展开图中的AC长根据勾股定理可知:在图2-1中AC=AB=30=925图2-2中AC=AD=20=625图2-3中AC=AD=25=725于是根据上面三种展开情形中的AC长比较最短的路径是在图2-2中故蚂蚁从A点爬行到点C最短距离为25cm.方程思想例3.如图3铁路上A、B两点相距25kmC、D两点为村庄DA⊥AB于ACB⊥AB于B已知DA=15kmCB=10km。现在要在铁路AB上建一个农贸市场E使得C、D两村到农贸市场E的距离相等则农贸市场E应建在距A站多少km处？分析：这是一个实际生活中的问题从图中可以看出如果单独解直角三角形这时条件不够根据题意不妨把两个直角三角形同时考虑进去设未知数如果设AE=x结合勾股定理抓住等量关系“DE=CE”列出方程就可以解决问题了。解：设AE=xkm由勾股定理得15解此方程得x=10故农贸市场E应建在铁路上离A站10km处。分类讨论思想例4.已知直角三角形的两边长分别为5和12求第三边长.分析:已知直角三角形的两边的长度并没有指明哪一条边是斜边因此要分类讨论.解:(1)当5和12均是直角边时则由勾股定理可得斜边的长度为=13;(2)当5是直角边12是斜边时则由勾股定理可得另一直角边长为.综合(1)、（2）得第三边的长为13或。试一试(供同学们练习）1.（2008年荆州市）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒规格为5×6×10(单位：㎝)在上盖中开有一孔便于插吸管吸管长为13㎝小孔到图中边AB距离为1㎝到上盖中与AB相邻的两边距离相等设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝则h的最小值大约为_________㎝.（精确到个位）参考数据：）2.如图所示的圆柱体中底面圆的半径是4/π高为3若一只小虫从A点出发沿着圆柱的侧面爬行到点C则小虫爬行的最短路程是.答案:53.如图设四边形ABCD是边长为1的正方形以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH如此下去…(1)记正方形ABCD的边长为依上述方法所作的正方形的边长依次为求出的值.(2)根据以上规律写出第n个正方形的边长a的表达式答案提示：(1)a=(;(2)a(n≧1的自然数)