52平面向量基本定理及坐标表示.ppt

§5.2平面向量基本定理及坐标表示要点梳理1.两个向量的夹角（1）定义已知两个向量a和b,作=a，=b，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.(2)范围向量夹角θ的范围是,a与b同向时，夹角θ=;a与b反向时，夹角θ=.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直,记作.2.平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理定理：如果e1,e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数1,2,使a=.其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,把有序数对叫做向量a的坐标，记作a=，其中叫a在x轴上的坐标，叫a在y轴上的坐标.②设=xi+yj，则向量的坐标（x,y)就是，即若=（x,y），则A点坐标为,反之亦成立.（O是坐标原点）3.平面向量的坐标运算（1）加法、减法、数乘运算.（2）向量坐标的求法已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量的坐标减去的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线a=.基础自测1.已知四边形ABCD的顶点A(0,2)、B（-1，-2）、C（3，1）,且=2则顶点D的坐标为（）A.B.C.(3,2)D.(1,3)解析∵A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),∴=(3,1)-(-1,-2)=(4,3).设D（x，y),∵=(x,y-2),=2,∴(4,3)=(2x,2y-4).∴x=2,y=.2.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b，则x等于（）A.9B.6C.5D.3解析∵a∥b，∴12-2x=0，∴x=6.3.已知两点A（4，1），B（7，-3），则与同向的单位向量是（）A.B.C.D.解析∵A（4，1），B（7，-3），=（3，-4），∴与同向的单位向量为4.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则等于（）A.（-2，-4）B.（-3，-5）C.（3，5）D.（2，4）解析如图所示，（-1，-1），所以（-3，-5）.－1题型一平面向量基本定理【例1】如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知=c，=d，试用c，d表示，.方法二设=a，=b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以b，a，c=b+aa=(2d-c)d=a+bb=(2c-d),即=（2d-c），=（2c-d）.知能迁移1如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同两点M、N，若则m+n的值为.解析设=a，=b，（a+b）-同理由∥得=①②①×②整理得m+n=2.答案2题型二向量的坐标运算【例2】已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，-2），求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.解设D的坐标为（x,y）.(1)若是ABCD，则由得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y),-1-x=-1,-2-y=2.∴x=0,y=-4.∴D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.（2）若是ADBC，则由得（x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4.∴D点坐标为（2，4）（如图中的D2）.（3）若是ABDC，则由得（0，2）-（1，0）=（x,y）-(-1,-2),即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0.∴D点的坐标为（-2，0）（如图中的D3）.综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（0，-4）或（2，4）或（-2，0）.探究提高（1）要加强对向量的坐标与该向量起点、终点的关系的理解，以及对坐标运算的灵活应用.（2）向量的坐标运算是向量运算的数量表达形式，更能利用代数知识解决，也是向量被广泛应用的基础.知能迁移2（2009·辽宁）在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A（-2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为.解析设D点的坐标为（x,y）,由题意知,即（2，-2）=(x+2,y)，所以x=0,y=-2,∴D(0,-2).题型三平行向量的坐标运算【例3】（12分）平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题：（1）若（a+kc）∥(2b-a)，求实数k;(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a