数学美育的初步认识与实践.doc

注:本文已经发表于中国数学会.北京师大《数学通报》2001.10对数学美育的初步认识与实践许兴华（广西南宁三中530021）数学家克莱因说：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”的确，数学是一门独特的科学，数学中包括着许许多多美的因素，教师要使数学课堂教学得到预期的良好效果，让学生学得津津有味，那么，充分挖掘数学中的美育因素，用春风化雨般的艺术美使学生受到潜移默化，甚至使学生热爱数学达到如痴如醉、废寝忘食的程度，让学生在轻松愉快的氛围美之中获取知识，在精湛艺术般的课堂布局中得到美的艺术享受，所有这些蕴含于数学中的美学因素，就起着举足轻重的重要作用。笔者在平时的教学中，曾进行数学美育的教学探索，试图通过数学美育培养学生的学习兴趣，从而充分地调动学生学习的积极性与主动性，促进数学教学的成功，取得了一定的效果。下面是笔者在数学美育中的初步认识与体会。1利用数学的形式美，培养学生的学习兴趣众所周知，如果注意挖掘，数学中处处存在着形式美。注意在教学中提练美，向学生适时地表现美，让学生艺术地感受美，应当是教师的一项基本功。例如，让学生展示以下各题中的形式美：1)证明恒等式2)在学习二项式定理时，向学生展示“杨辉三角”的形式美。先让学生充分地研究：到底“杨辉三角”形式美的实质是什么？经过大家开动脑筋，认真讨论，结果发现美的实质恰好是公式，这样，学生自己尝试到了成功的喜悦，大家都无比兴奋，学习数学的情绪空前高涨。3)由二项式定理，可以推出：当a、b∈Z时，（其中m是整数），由此可以证明一些整除问题。例如，求证：①能被7整除；②能被7整除。这两个式子是很美的，因为4444+3333=5555+2222=7777均能被7整除）。4）特殊角的三角函数值具有形式美：角函数30°45°60°sinαcosαtgα因为表中三行的分子可分别记为：“一二三，三二一，三九二十七。”5)学习数列时，启发学生推导优美的式子：1+2+…+n=；；。6)容易推导，复数a+bi（a、b∈R）的平方根是：±[±i]，其中括号内的“±”号与b的符号一致。有的学生觉得此公式难记，其实若记为：±[±i]，则更能体现其形式的优美，又便于记忆。7）在学习三角时，有以下问题：①设A+B+C=π，求证：tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC.②设A+B+C=π，且tgA、tgB、tgC均不等于－1，求证：tg2A+tg2B+tg2C=tg2Atg2Btg2C.③设a+b+c=abc，a≠±1,b≠±1,c≠±1求证：④设arctga+arctgb+arctgc=，求证：以上四个问题结构巧妙，形式优美，彼此之间“似曾相识”，因为它们之间有着紧密的本质联系。在解决了数学课本上的问题①以后，教师接着提出以上三个问题让学生思考：问题①将对我们解决其余的三个问题有什么方法上的启示吗？学生通过对比联想，尝试探索，终于发现它们之间不仅仅是形式的优美，而且有着本质上的美好联系，从而用类似的方法去解决了类似的问题——这就是多样化的问题在数学上得到完美的统一的结果。通过多次这样的教学尝试，让学生逐步体会到，数学的美是“表里如一”的美，是“形式美”与“内在美”的辩证统一。这些看起来似乎毫无相关的问题通过形式美的启迪，最后升华到了本质上必然的联系，使类似的问题得到统一解决，这样的美育教学随着日子的增长，极大地提高了绝大多数学生的学习兴趣。2利用数学的简洁美，培养学生的求简意识在数学教学中，教师要深入地钻研教材，更要博览群书，注意寻找与教材有关的美的素材，深刻发掘教材中的美学因素，才能很好地进行数学美育。因为教师只有对数学美有较深刻的领悟与内心感受，并注意艺术地表现出来，才能感染学生，激励学生。从某种意义上说，数学问题就是把现实问题进行数学模型化，然后将复杂的问题通过数学方法转化为简单的问题，由繁化简，一旦简单问题获解，即“问题解决”。因此，在数学的学习与研究中，追求数学的简洁美（亦称简单美），将是学习者、研究者的重要任务。譬如，在推导椭圆的标准方程中，由椭圆的定义得到它的方程，即为所求。但我们看到这方程还相当复杂，不满足“简洁美”的原则，故化简成。至此或许可以告一段落，但我们总觉得似乎还不够和谐，于是令，得到，这是相当完美的形式。常数2a与b的选择本是为“简洁美”而引进的，后来发现它们竟有着鲜明的几何意义！这种“简洁美”与“和谐美”真是一箭双雕！我们应当注意到，数学教学中这种“简洁美”不胜枚举。教师若能适时地引导学生对这种美进行有意识的追求，可以逐步培养学生的求简意识。又如，在“坐标平移”内容中，圆的方程怎样才能变得更简单，使其具有“简洁美