高中数学 2.2.2等差数列的性质导学案（含解析）新人教版必修5-新人教版高二必修5数学学案.doc

第二章第二节等差数列第二课时等差数列性质（导学案）目标定位：1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律。2.理解等差数列的性质。（重点）3.掌握等差数列的性质及其应用。（难点）等差数列性质的应用[例1](1)已知{an}为等差数列a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450.求a2＋a8的值．(2)(2012·江西高考)设数列{an}{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7a3＋b3＝21则a5＋b5＝________.(1)[解]∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450由等差数列的性质知：a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.∴5a5＝450.∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.(2)[解析]法一：设数列{an}{bn}的公差分别为d1d2因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21所以d1＋d2＝7所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.法二：∵数列{an}{bn}都是等差数列∴数列{an＋bn}也构成等差数列∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)∴2×21＝7＋a5＋b5∴a5＋b5＝35.[答案]35[类题通法]1．利用通项公式时如果只有一个等式条件可通过消元把所有的量用同一个量表示．2．本题的求解主要用到了等差数列的以下性质：若m＋n＝p＋q则am＋an＝ap＋aq.对于此性质应注意：必须是两项相加等于两项相加否则不一定成立．例如a15≠a7＋a8但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22但a1＋a21＝2a11.[活学活用]1．(1)已知{an}为等差数列a15＝8a60＝20则a75＝________.(2)如果等差数列{an}中a3＋a4＋a5＝12那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35解析：法一：因为{an}为等差数列所以a15a30a45a60a75也成等差数列其公差为da15为首项则a60为其第四项所以a60＝a15＋3d得d＝4.所以a75＝a60＋d⇒a75＝24.法二：因为a15＝a1＋14da60＝a1＋59d所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋14d＝8a1＋59d＝20))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(6415)d＝\f(415).))故a75＝a1＋74d＝eq\f(6415)＋74×eq\f(415)＝24.(2)∵a3＋a4＋a5＝12∴3a4＝12则a4＝4又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故选C.答案：(1)24(2)C灵活设元求解等差数列[例2](1)三个数成等差数列其和为9前两项之积为后一项的6倍求这三个数．(2)四个数成递增等差数列中间两数的和为2首末两项的积为－8求这四个数．[解](1)设这三个数依次为a－daa＋d则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9a－da＝6a＋d))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3d＝－1.))∴这三个数为432.(2)法一：设这四个数为a－3da－da＋da＋3d(公差为2d)依题意2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8即a＝1a2－9d2＝－8∴d2＝1∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列所以d＞0∴d＝1故所求的四个数为－2024.法二：若设这四个数为aa＋da＋2da＋3d(公差为d)依题意2a＋3d＝2且a(a＋3d)＝－8把a＝1－eq\f(32)d代入a(a＋3d)＝－8得(1－eq\f(32)d)(1＋eq\f(32)d)＝－8即1－eq\f(94)d2＝－8化简得d2＝4所以d＝2或－2.又四个数成递增等差数列所以d＞0所以d＝2a＝－2.故所求的四个数为－2024.[类题通法]常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和可设这两个数为：a－da＋d公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和常设此三数为：a－daa＋d公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和常设成a－3da－da＋da＋3d公差为2d.[活学活用]2．已知成等差数列的四个数四个数之和为26第二个数与第三个数之积为40求这个等差数列．解：设这四个数依次为a－3da－da＋da＋3d.由题设知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26a－da＋d＝40))解得eq