高中数学 2.2.1等差数列导学案（含解析）新人教版必修5-新人教版高二必修5数学学案.doc

等差数列第一课时等差数列
目标定位：1.了解等差数列与方程，一次函数的联系。
2.理解等差数列的概念。（重点）
3.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用。（难点）

等差数列的定义[提出问题]
1．有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位：cm)依次为：16,32,48,64,80,96,112,128，…，320.
2．2012年伦敦奥运会女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)分别为：48,53,58,63.
3．鞋的尺码，按照国家规定，有：22,22.5,23,23.5,24,24.5，…
问题1：上面三组数构成数列吗？
提示：构成．
问题2：若上面三组数构成数列，试观察它们从2项起，每一项与前一项的差有什么特点？
提示：等于同一常数．
[导入新知]
等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
[化解疑难]
1．“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
2．“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
3．定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
等差中项[提出问题]
问题：观察上面三个数列，每个数列的任意连续三项之间有什么样的关系？
提示：前一项与后一项的和是中间项的2倍．
[导入新知]
等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝eq\f(a＋b,2).
[化解疑难]
1．A是a与b的等差中项，则A＝eq\f(a＋b,2)或2A＝a＋b，即两个数的等差中项有且只有一个．
2．当2A＝a＋b时，A是a与b的等差中项.
等差数列的通项公式[提出问题]
若一等差数列{an}的首项为a1，公差是d.
问题1：试用a1、d表示a2、a3、a4.
提示：a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d.
问题2：由此猜想等差数列的通项公式an.
提示：an＝a1＋(n－1)d.
[导入新知]
等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d
递推公式通项公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)
[化解疑难]
由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．

等差数列的判定与证明[例1]判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{an}中an＝3n＋2；
(2)在数列{an}中an＝n2＋n.
[解](1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．
[类题通法]
定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
[活学活用]
1．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？并说明理由．
解：数列{bn}是等差数列．
理由：∵数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，
∴an＋1－an＝d(n∈N*)．
∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d.
∴根据等差数列的定义，数列{bn}是等差数列.
等差数列的通项公式[例2](1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求通项公式an.
(2)已知数列{an}为等差数列a3＝eq\f(5,4)，a7＝－eq\f(7,4)，求a15的值．
[解](1)∵a5＝10，a12＝31，
则eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋11d＝31，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3.))
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5
∴通项公式an＝3n－5.(n∈N*)
(2)法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝\f(5,4)，,a7＝－\f(7,4)，))
得eq\b\lc\