高中数学 2.3等差数列的前n项和导学案（含解析）新人教版必修5-新人教版高二必修5数学学案.doc

第二章第三节等差数列前n项和目标定位：1.了解等差数列前n项和公式的推导过程掌握等数列的五个基本量之间的关系。2.掌握等差数列前n项和公式性质及其应用。（重点）3.能熟练应用公式解决实际问题并体会方程思想。（难点）数列的前n项和[导入新知]数列的前n项和对于数列{an}一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和用Sn表示即Sn＝a1＋a2＋…＋an.[化解疑难]数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起一直到第n项an所有项的和.等差数列的前n项和[提出问题]如图某仓库堆放的一堆钢管最上面的一层有4根钢管下面的每一层都比上一层多一根最下面的一层有9根．问题1：共有几层？图形的横截面是什么形状？提示：六层等腰梯形．问题2：假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管如图所示则这样共有多少钢管？提示：(4＋9)×6＝78.问题3：原来有多少根钢管？提示：eq\f(12)×78＝39.问题4：能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an?提示：Sn＝a1＋a2＋…＋anSn＝an＋an－1＋…＋a1相加：2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)∴Sn＝eq\f(na1＋an2).问题5：试用a1dn表示Sn.提示：∵an＝a1＋(n－1)d∴Sn＝eq\f(n[a1＋a1＋n－1d]2)＝na1＋eq\f(nn－12)d.[导入新知]等差数列的前n项和公式已知量首项末项与项数首项公差与项数选用公式Sn＝eq\f(na1＋an2)Sn＝na1＋eq\f(nn－12)d[化解疑难]等差数列前n项和公式的特点(1)两个公式共涉及到a1dnan及Sn五个基本量它们分别表示等差数列的首项公差项数通项和前n项和．(2)当已知首项、末项和项数时用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时用后一个公式较好．等差数列前n项和的有关计算[例1](2012·北京高考)(1)已知{an}为等差数列Sn为其前n项和若a1＝eq\f(12)S2＝a3则a2＝__________；Sn＝________.(2)在等差数列{an}中已知d＝2an＝11Sn＝35求a1和n.(1)[解析]设公差为d则由S2＝a3得2a1＋d＝a1＋2d所以d＝a1＝eq\f(12)故a2＝a1＋d＝1Sn＝na1＋eq\f(nn－12)d＝eq\f(nn＋14).[答案]1eq\f(nn＋14)(2)[解]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝a1＋n－1dSn＝na1＋\f(nn－12)d))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2n－1＝11na1＋\f(nn－12)×2＝35))解方程组得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝5a1＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝7a1＝－1.))[类题通法]a1dn称为等差数列的三个基本量an和Sn都可以用这三个基本量来表示五个量a1dnanSn中可知三求二即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．[活学活用]1．已知等差数列{an}．(1)a1＝eq\f(56)a15＝－eq\f(32)Sn＝－5求n和d；(2)a1＝4S8＝172求a8和d.解：∵a15＝eq\f(56)＋(15－1)d＝－eq\f(32)∴d＝－eq\f(16).又Sn＝na1＋eq\f(nn－12)·d＝－5解得n＝15n＝－4(舍)．(2)由已知得S8＝eq\f(8a1＋a82)＝eq\f(84＋a82)＝172解得a8＝39又∵a8＝4＋(8－1)d＝39∴d＝5.已知Sn求通项公式an[例2]已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.(1)求{an}的通项公式；(2)判断{an}是否为等差数列？[解](1)∵Sn＝－2n2＋n＋2∴当n≥2时Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.又a1＝S1＝1不满足an＝－4n＋3∴数列{an}的通项公式是an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1n＝1－4n＋