立体几何中的最值与动态问题-(解析版).doc

(完整word版)立体几何中的最值与动态问题(解析版)(完整word版)立体几何中的最值与动态问题(解析版)(完整word版)立体几何中的最值与动态问题(解析版)立体几何中的动态问题立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。一、以静制动例1、在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB=AC,AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（D)A300B450C600D900分析：虽然点P的具体位置不定，但PQ在平面A1C上的射影是一条定直线A1H，在正方形ACC1A1中AM⊥A1H，故由三垂线定理得BQ⊥AM。例2如图3，在棱长为a的正方体中，EF是棱AB上的一条线段,且EF＝b＜a，若Q是上的定点,P在上滑动，则四面体PQEF的体积()．（A)是变量且有最大值(B）是变量且有最小值（C）是变量无最大最小值（D）是常量分析：此题的解决需要我们仔细分析图形的特点．这个图形有很多不确定因素，线段EF的位置不定，点P在滑动,但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定因素？求四面体的体积要具备哪些条件？仔细观察图形，应该以哪个面为底面？观察，我们发现它的形状位置是要变化的,但是底边EF是定值,且P到EF的距离也是定值,故它的面积是定值．再发现点Q到面PEF的距离也是定值．因此，四面体PQEF的体积是定值．我们没有一点计算,对图形的分析帮助我们解决了问题．1.在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O,SO=2,底面边长为，点P、Q分别在线段BD、SC上移动，则P、Q两点的最短距离为（)A。B。C。2D。1解析：如图，由于点P、Q分别在线段BD、SC上移动，先让点P在BD上固定，Q在SC上移动，当OQ最小时,PQ最小。过O作OQ⊥SC，在Rt△SOC中，中。又P在BD上运动，且当P运动到点O时，PQ最小,等于OQ的长为，也就是异面直线BD和SC的公垂线段的长。故选B。2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是.分析：点P是在正方体的右侧面这样的一个区域中运动，这使两条线段BD1与AP的位置关系比较复杂，但BD1是正方体的体对角线，它在各个侧面上的射影与这个侧面的另一条对角线互相垂直,故由三垂线定理可证得BD1⊥平面AB1C,因此当点P在线段B1C上运动时，由线面垂直的性质得BD1⊥AP恒成立，即线段P的轨迹是线段B1C.二、侧面展开例1。正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点,则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少？并求之.解析：（1)从侧面到N，如图1，沿棱柱的侧棱AA1剪开,并展开，则MN＝＝＝(2)从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开、展开,如图2。则MN＝＝＝∵＜∴＝.例2.如图，四面体A-BCD的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c.平面α分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S,则四边形PQRS的周长的最小值是（)A。2aB。2bC.2cD。a+b+c解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A与A'、D与D’在四面体中是同一点，且，,A、C、A’共线,D、B、D'共线，。又四边形PQRS在展开图中变为折线S’PQRS,S’与S在四面体中是同一点。因而当P、Q、R在S’S上时，最小，也就是四边形PQRS周长最小。又，所以最小值。故选B。例3给出任意的一块三角形纸片，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种方案，并加以简要的说明．分析:这是2002年高考立体几何题中的一部分．这个设计新颖的题目,使许多平时做惯了证明、计算题的学生一筹莫展．这是一道动作题，但它不仅是简单的剪剪拼拼的动作，更重要的是一种心灵的“动作”,思维的“动作"．受题目叙述的影响,大家往往在想如何折起来？参考答案也是给了一种折的方法．那么这种方法究竟从何而来？其实逆向思维是这题的一个很好的切人点．我们思考:展开一个直三棱柱,如何还原成一个三角形？把一个直三棱柱展开后可得到甲、乙两部分，甲内部的三角形和乙是全等的，甲的三角形外是宽相等的三个矩形．现在的问题是能否把乙分为三部分，补在甲的三个角上正好成为一个三角形（如图丙）?因为甲中三角形外是宽相等的矩形，所以三角形的顶点应该在原三角形的三条角平分线上，又由于面积要相等，所以甲中的三角形的顶点应该在原三角形的内心和顶点的连线段的中点上（如图丁)．按这样的设计,剪开后可以折成一个直三棱柱．1