2012高中数学 2.3等差数列的前n项和（一）学案 新人教A版必修5.doc

5用心爱心专心2.3等差数列的前n项和（一）教学目标：1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程和思想方法．2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题3.经历公式的推导过程体会数形结合的数学思想体验从特殊到一般的研究方法学会观察、归纳、反思教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题授课类型：新授课课时安排：1课时内容分析：本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上使学生掌握等差数列求和公式并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导采用了倒序相加法思路的获得得益于等到差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导使学生能掌握“倒序相加”数学方法教学过程：一、复习引入：首先回忆一下前几节课所学主要内容：1．等差数列的定义：－=d（n≥2n∈N）2．等差数列的通项公式：(或=pn+q(p、q是常数))3．几种计算公差d的方法：①d=－②d=③d=4．等差中项：成等差数列5．等差数列的性质：m+n=p+q(mnpq∈N)6．数列的前n项和：数列中称为数列的前n项和记.“小故事”:高斯是伟大的数学家天文学家高斯十岁时有一次老师出了一道题目老师说:“现在给大家出道题目:1+2+…100=?”过了两分钟正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101所以101×50=5050”这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察敢于思考所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法二、讲解新课：如图一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔往上每一层都比它下面一层多放一支最上面一层放120支这个V形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V形架这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图看到此图大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系而且可以用一个式子来表示这种关系利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析我们不难看出这是一个等差数求和问题？这个问题它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题它可以看成是求等差数列123…n…的前120项的和.在上面的求解中我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式那么上述问题便可迎刃而解.1．等差数列的前项和公式1：证明：①②①+②：∵∴由此得：从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2．等差数列的前项和公式2：用上述公式要求必须具备三个条件：但代入公式1即得：此公式要求必须已知三个条件：（有时比较有用）总之：两个公式都表明要求必须已知中三个公式二又可化成式子：当d≠0是一个常数项为零的二次式三、例题讲解例1一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔往上每一层都比它下面一层多放一支最上面一层放120支这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知这个V形架上共放着120层铅笔且自下而上各层的铅笔成等差数列记为其中根据等差数列前n项和的公式得答：V形架上共放着7260支铅笔例2等差数列-10-6-22…前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为前n项为则由公式可得解之得：（舍去）∴等差数列-10-6-22…前9项的和是54.例3一凸n边形各内角的度数成等差数列公差是10°最小内角为100°求边数n.解：由(n－2)·180＝100n＋×10求得n－17n＋72＝0n＝8或n＝9当n＝9时最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意舍去∴n＝8.例4在等差数列中已知求前20项之和．分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求求解；也可以用等差数列的性质求解．解：法一由.由法二由而所以所以小结：在解决等差数列有关问题时要熟练运用等差数列的一些性质．在本题的第二种解法中利用这一性质简化了计算是解决这类问题的常用方法．四．巩固练习1．求集合的元素个数并求这些元素的和解：由得∴正整数共有14个即中共有14个元素即：71421…98是以7为首项98为末项的等差数列。