数值分析试题及答案.doc

已知函数表-112-304求Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。解：由题可知-112-304插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为均差表为一阶二阶-1-3103/22445/6故所求Newton二次插值多项式为设，，试求在[0,1]上有关，最佳平方迫近多项式。解：若，则，，且，这样，有因此，法方程为，通过消元得再回代解该方程，得到，故，所求最佳平方迫近多项式为设，，试求在[0,1]上有关，最佳平方迫近多项式。解：若，则，，这样，有因此，法方程为解法方程，得到，，故，所求最佳平方迫近多项式为用复合梯形和复合辛普森公式计算积分。解：（1）用复合梯形公式由于，，，因此，有（2）用复合辛普森公式由于，，，，因此，有用列主元消去法求解下列线性方程组解。解：先消元再回代，得到，，因此，线性方程组解为，，用直接三角分解法求下列线性方程组解。解：设则由对应元素相等，有，，，，，，，，因此，解，即，得，，解，即，得，，因此，线性方程组解为，，１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）２、当时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。（）3、形如高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度次数为。（）４、矩阵２－范数＝９。（）5、设，则对任意实数，方程组都是病态。（用）（）6、设，，且有（单位阵），则有。（）7、区间上有关权函数直交多项式是存在，且唯一。（）1、（Ⅹ）2、（∨）3、（Ⅹ）4、（∨）5、（Ⅹ）6、（∨）7、（Ⅹ）8、（Ⅹ）判断题（10×1′）若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。(×)解非线性方程f(x)=0牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛。()若A为n阶方阵，且其元素满足不等式则解线性方程组AX＝b高斯——塞德尔迭代法一定收敛。(×)样条插值一种分段插值。()假如插值结点相似，在满足相似插值条件下所有插值多项式是等价。()从实际问题精确解到实际计算成果间误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()解线性方程组平方根直接解法合用于任何线性方程组AX＝b。(×)迭代解法舍入误差估计要从第一步迭代计算舍入误差开始估计,直到最终一步迭代计算舍入误差。(×)数值计算中总误差假如只考虑截断误差和舍入误差，则误差最佳分派原则是截断误差＝舍入误差。()10、插值计算中防止外插是为了减少舍入误差。(×)用计算机求时，应按照从小到大次序相加。（）为了减少误差,应将体现式改写为进行计算。（对）用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）复习试题一、填空题：1、，则ALU分解为。答案：2、已知，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得,用三点式求得。答案：2.367，0.253、，则过这三点二次插值多项式中系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1，4、近似值有关真值有(2)位有效数字；5、设可微,求方程牛顿迭代格式是()；答案6、对,差商(1),(0)；7、计算措施重要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内根时，二分n次后误差限为()；10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15)；两点式高斯型求积公式≈()，代数精度为(5)；解线性方程组Ax=b高斯次序消元法满足充要条件为(A各阶次序主子式均不为零)。为了使计算乘除法次数尽量地少，应将该体现式改写为，为了减少舍入误差，应将体现式改写为。用二分法求方程在区间[0,1]内根,进行一步后根所在区间为0.5，1,进行两步后根所在区间为0.5，0.75。计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得近似值为0.4268，用辛卜生公式计算求得近似值为0.4309，梯形公式代数精度为1，辛卜生公式代数精度为3。求解方程组高斯—塞德尔迭代格式为，该迭代格式迭代矩阵谱半径=。设,则，二次牛顿插值多项式为。求积公式代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有()次代数精度。已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求≈(12)。设f(1)=1，f(2)=2，f(3)=0，用三点式求(2.5)。21、假如用二分法求方程在区间内根精确到三位小数，需对分（10）次。23、是以整数点为节点Lagrange插值基函数，则(1)，()，当时()。26、变化函数()形式，使计算成果较精确。27、若用二分法求方程在区间[1,2]内根，规定精确到第3位小数，则需要对分10次。29、若用复化梯形公式计算，规定误差不超过，运用余项公式估计，至少用477个求积节点。30、写