高考数学大一轮复习 8.7利用向量方法求空间角学案 理 苏教版-苏教版高三全册数学学案.doc

学案44利用向量方法求空间角导学目标：1.掌握各种空间角的定义弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角二面角的平面角直线与平面所成的角的联系和区别体会求空间角中的转化思想．自主梳理1．两条异面直线的夹角①定义：设ab是两条异面直线在直线a上任取一点作直线a′∥b则a′与a的夹角叫做a与b的夹角．②范围：两异面直线夹角θ的取值范围是_______________________________________．③向量求法：设直线ab的方向向量为ab其夹角为φ则有cosθ＝________＝_______________.2．直线与平面的夹角①定义：直线和平面的夹角是指直线与它在这个平面内的射影的夹角．②范围：直线和平面夹角θ的取值范围是______________________________________．③向量求法：设直线l的方向向量为a平面的法向量为u直线与平面所成的角为θa与u的夹角为φ则有sinθ＝|cosφ|或cosθ＝sinφ.3．二面角(1)二面角的取值范围是____________．(2)二面角的向量求法：①若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线则二面角的大小就是向量eq\o(AB\s\up6(→))与eq\o(CD\s\up6(→))的夹角(如图①)．②设n1n2分别是二面角α—l—β的两个面αβ的法向量则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．自我检测1．已知两平面的法向量分别为m＝(010)n＝(011)则两平面所成的二面角为________．2．若直线l1l2的方向向量分别为a＝(24－4)b＝(－696)则l1与l2所成的角等于________．3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°则直线l与平面α所成的角等于________．4．二面角的棱上有A、B两点直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于AB.已知AB＝4AC＝6BD＝8CD＝2eq\r(17)则该二面角的大小为________________________________________________________________________．5．(2010·铁岭一模)已知直线AB、CD是异面直线AC⊥CDBD⊥CD且AB＝2CD＝1则异面直线AB与CD所成的角的大小为________．探究点一利用向量法求异面直线所成的角例1已知直三棱柱ABC—A1B1C1∠ACB＝90°CA＝CB＝CC1D为B1C1的中点求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．变式迁移1如图所示在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中求异面直线BA1和AC所成的角．探究点二利用向量法求直线与平面所成的角例2如图已知平面ABCD⊥平面DCEFMN分别为ABDF的中点求直线MN与平面DCEF所成的角的正弦值．变式迁移2如图所示在几何体ABCDE中△ABC是等腰直角三角形∠ABC＝90°BE和CD都垂直于平面ABC且BE＝AB＝2CD＝1点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成的角的正弦值．探究点三利用向量法求二面角例3如图ABCD是直角梯形∠BAD＝90°SA⊥平面ABCDSA＝BC＝BA＝1AD＝eq\f(12)求面SCD与面SBA所成角的余弦值大小．变式迁移3如图在三棱锥S—ABC中侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形∠BAC＝90°O为BC中点．(1)证明：SO⊥平面ABC；(2)求二面角A—SC—B的余弦值．探究点四综合应用例4如图所示在三棱锥A—BCD中侧面ABD、ACD是全等的直角三角形AD是公共的斜边且AD＝eq\r(3)BD＝CD＝1另一个侧面ABC是正三角形．(1)求证：AD⊥BC；(2)求二面角B－AC－D的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点E使ED与面BCD成30°角？若存在确定点E的位置；若不存在说明理由．变式迁移4(2011·山东19)在如图所示的几何体中四边形ABCD为平行四边形∠ACB＝90°EA⊥平面ABCDEF∥ABFG∥BCEG∥ACAB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点求证：GM∥平面ABFE；(2)若AC＝BC＝2AE求二面角A－BF－C的大小．1．求两异面直线a、b的所成的角θ需求出它们的方向向量ab的夹角则cosθ＝|cos〈ab〉|.2．求直线l与平面α所成的角θ.可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角．则sinθ＝|cos〈na〉|.3．求二面角α—l—β的大小θ可先求出两个平面的法向量n1n2所成的角．则θ＝〈n1n2〉或π－〈n1n2〉．(满分：90分)一、填空题(每小题6分共48分)1．在正方体ABCD—