高考数学二轮复习 专题四 概率与统计 第2讲 概率、随机变量及其分布列学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

第2讲概率、随机变量及其分布列高考定位1.计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题中低档难度；2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”多在解答题的前三题的位置呈现常考查独立事件的概率超几何分布和二项分布的期望等.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”如30＝7＋23.在不超过30的素数中随机选取两个不同的数其和等于30的概率是()A.eq\f(112)B.eq\f(114)C.eq\f(115)D.eq\f(118)解析不超过30的素数有2357111317192329共10个从中随机选取两个不同的数有Ceq\o\al(210)种不同的取法其中两素数相加等于30的有7和2311和1913和17共有3种情况所以所求概率P＝eq\f(3Ceq\o\al(210))＝eq\f(115)故选C.答案C2.(2018·全国Ⅰ卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC直角边ABAC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ黑色部分记为Ⅱ其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点此点取自ⅠⅡⅢ的概率分别记为p1p2p3则()A.p1＝p2B.p1＝p3C.p2＝p3D.p1＝p2＋p3解析不妨设△ABC为等腰直角三角形AB＝AC＝2则BC＝2eq\r(2)所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积为S1＝eq\f(12)×2×2＝2区域Ⅲ的面积S3＝eq\f(π×（\r(2)）22)－S1＝π－2.区域Ⅱ的面积为S2＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22)))eq\s\up12(2)－S3＝2.根据几何概型的概率计算公式得p1＝p2＝eq\f(2π＋2)p3＝eq\f(π－2π＋2)所以p1≠p3p2≠p3p1≠p2＋p3故选A.答案A3.(2018·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装每箱200件每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验如检验出不合格品则更换为合格品.检验时先从这箱产品中任取20件作检验再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)求f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20件结果恰有2件不合格品以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元若有不合格品进入用户手中则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X求E(X)；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验？解(1)由题意知20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Ceq\o\al(220)p2(1－p)18.因此f′(p)＝Ceq\o\al(220)[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Ceq\o\al(220)p(1－p)17(1－10p).令f′(p)＝0得p＝0.1.当p∈(00.1)时f′(p)>0f(p)单调递增；当p∈(0.11)时f′(p)<0f(p)单调递减.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知p＝0.1.(ⅰ)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数依题意知Y～B(1800.1)X＝20×2＋25Y即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0.1＝490.(ⅱ)如果对余下的产品作检验则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400故应该对余下的产品作检验.考点整合1.概率模型公式及相关结论(1)古典概型的概率公式.P(A)＝eq\f(mn)＝eq\f(事件A中所含的基本事件数试验的基本事件总数).(2)几何概型的概率公式.P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）).(3)条件概率.在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝eq\f(P（AB）P（A）).(4)相互独立事件同时发生的概率：若AB相互独立则P(AB)＝P(A)·P(B).(5)若事件AB互斥则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)P(eq\o(A\s\up