高考数学二轮复习 专题七 概率与统计 2.7.2 概率、随机变量及其分布列学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

2.7.2概率、随机变量及其分布列1．(2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC直角边ABAC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ黑色部分记为Ⅱ其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点此点取自ⅠⅡⅢ的概率分别记为p1p2p3则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3[解析]不妨设BC＝5AB＝4AC＝3则△ABC三边所围成的区域Ⅰ的面积S1＝eq\f(12)×3×4＝6区域Ⅲ的面积S3＝eq\f(π2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(52)))2－S1＝eq\f(25π8)－6区域Ⅱ的面积S2＝eq\f(π2)×22＋eq\f(π2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(32)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25π8)－6))＝6所以S1＝S2>S3由几何概型的概率公式可知p1＝p2>p3故选A.[答案]A2．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数D(X)＝2.4P(X＝4)<P(X＝6)则p＝()A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3[解析]由题知X～B(10p)则D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4解得p＝0.4或0.6.又∵P(X＝4)<P(X＝6)即Ceq\o\al(410)p4(1－p)6<Ceq\o\al(610)p6(1－p)4⇒(1－p)2<p2⇒p>0.5∴p＝0.6故选B.[答案]B3．(2018·浙江卷)设0<p<1随机变量ξ的分布列是()ξ012Peq\f(1－p2)eq\f(12)eq\f(p2)则当p在(01)内增大时()A．D(ξ)减小B．D(ξ)增大C．D(ξ)先减小后增大D．D(ξ)先增大后减小[解析]由题意得E(ξ)＝0×eq\f(1－p2)＋1×eq\f(12)＋2×eq\f(p2)＝eq\f(12)＋pD(ξ)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)＋p))))2·eq\f(1－p2)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)＋p))))2·eq\f(12)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)＋p))))2·eq\f(p2)＝eq\f(18)[(1＋2p)2(1－p)＋(1－2p)2＋(3－2p)2·p]＝－p2＋p＋eq\f(14)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(12)))2＋eq\f(12).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<\f(1－p2)<10<\f(p2)<1\f(1－p2)＋\f(12)＋\f(p2)＝1))得0<p<1∴D(ξ)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0\f(12)))上单调递增在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)1))上单调递减故选D.[答案]D4．(2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为241616.现采用分层抽样的方法从中抽取7人进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽取的7人中有4人睡眠不足3人睡眠充足现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(ⅰ)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数求随机变量X的分布列与数学期望；(ⅱ)设A为事件“抽取的3人中既有睡眠充足的员工也有睡眠不足的员工”求事件A发生的概率．[解](1)由已知甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2由于采用分层抽样的方法从中抽取7人因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人2人2人．(2)(ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0123.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k4)·C\o\al(3－k3)C\o\al(37))(k＝0123)．所以随机变量X的分布列为X0123Peq\f(135)eq\f