高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

2．10导数的概念及运算[知识梳理]1．变化率与导数(1)平均变化率(2)导数2．导数的运算[诊断自测]1．概念思辨(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．()(2)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(4)曲线y＝f(x)在点P(x0y0)处的切线与过点P(x0y0)的切线相同．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．教材衍化(1)(选修A2－2P6例1)若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(11)及邻近一点(1＋Δx1＋Δy)则eq\f(ΔyΔx)等于()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2答案C解析Δy＝(1＋Δy)－1＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx∴eq\f(ΔyΔx)＝2Δx＋4故选C.(2)(选修A2－2P18T7)f(x)＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π2)0))处的切线的倾斜角为________．答案eq\f(3π4)解析f′(x)＝(cosx)′＝－sinxf′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π2)))＝－1tanα＝－1所以α＝eq\f(3π4).3．小题热身(1)(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(00)处的切线方程为y＝2x则a＝()A．0B．1C．2D．3答案D解析y′＝a－eq\f(1x＋1)当x＝0时y′＝a－1＝2∴a＝3故选D.(2)(2017·太原模拟)函数f(x)＝xex的图象在点(1f(1))处的切线方程是________．答案y＝2ex－e解析∵f(x)＝xex∴f(1)＝ef′(x)＝ex＋xex∴f′(1)＝2e∴f(x)的图象在点(1f(1))处的切线方程为y－e＝2e(x－1)即y＝2ex－e.题型1导数的定义及应用eq\o(\s\up17()\s\do15(典例1))已知函数f(x)＝eq\r(3x)＋1则eq\o(lim\s\do14(Δx→0))eq\f(f1－Δx－f1Δx)的值为()A．－eq\f(13)B.eq\f(13)C.eq\f(23)D．0用定义法．答案A解析由导数定义eq\o(lim\s\do14(Δx→0))eq\f(f1－Δx－f1Δx)＝－eq\o(lim\s\do14(Δx→0))eq\f(f1－Δx－f1－Δx)＝－f′(1)而f′(1)＝eq\f(13)故选A.eq\o(\s\up17()\s\do15(典例2))已知f′(2)＝2f(2)＝3则eq\o(lim\s\do14(x→2))eq\f(fx－3x－2)＋1的值为()A．1B．2C．3D．4用定义法．答案C解析令x－2＝Δxx＝2＋Δx则原式变为eq\o(lim\s\do14(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2Δx)＋1＝f′(2)＋1＝3故选C.方法技巧由定义求导数的方法及解题思路1．导数定义中x在x0处的增量是相对的可以是Δx也可以是2Δx解题时要将分子、分母中的增量统一．2．导数定义eq\o(lim\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0Δx)＝f′(x0)等价于eq\o(lim\s\do14(x→x0))eq\f(fx－fx0x－x0)＝f′(x0)．3．求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的求解步骤：冲关针对训练用导数的定义求函数y＝eq\f(1\r(x))在x＝1处的导数．解记f(x)＝eq\f(1\r(x))则Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\f(1\r(1＋Δx))－1＝eq\f(1－\r(1＋Δx)\r(1＋Δx))＝eq\f(1－\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx)\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx))＝eq\f(－Δx\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx))eq\f(ΔyΔx)＝－eq\f(1\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx))∴eq\o(lim\s\do14(Δx→0))eq\f(ΔyΔx)＝eq