高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第10节 导数的概念及运算教学案（含解析）理-人教版高三全册数学教学案.doc

第十节导数的概念及运算
[考纲传真]1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝eq\f(1,x)，y＝x2，y＝x3，y＝eq\r(x)的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0))，即f′(x0)＝＝.
②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝
lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
eq\o([常用结论])
1．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
2．直线与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相切只有一个公共点；直线与非二次曲线相切，公共点不一定只有一个．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同． ()
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)． ()
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ()
(4)若f(a)＝a3＋2ax－x2，则f′(a)＝3a2＋2x. ()
[答案](1)×(2)×(3)√(4)√
2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋eq\f(3,t)(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()
A.eq\f(19,4)B.eq\f(17,4) C.eq\f(15,4) D.eq\f(13,4)
D[由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－eq\f(3,t2)，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－eq\f(3,22)＝eq\f(13,4).]
3．函数y＝xcosx－sinx的导数为()
A．xsinxB．－xsinx C．xcosx D．－xcosx
B[y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，故选B.]
4．若f(x)＝xex，则f′(1)＝________.
2e[f′(x)＝ex＋xex，则f′(1)＝e1＋e1＝2e.]
5．曲线y＝eq\f(sinx,x)在点M(π，0)处的切线方程为________．
x＋πy－π＝0[y′＝eq\f(xcosx－sinx,x2)，则y′|x＝π＝eq\f(πcosπ－sinπ,π2)＝－eq\f(1,π)，则切线方程为y＝－eq\f(1,π)(x－π)，即x＋πy－π＝0.]

导数的计算1．f(x)＝x(2018＋lnx)，若f′(x0)＝2019，则x0等于()
A．e2B．1 C．ln2 D．e
B[f′(x)＝2018＋lnx＋1＝2019＋lnx，则f′(x0)＝2019＋lnx0＝2019，解得x0＝1，故选B.]
2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.
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