高中数学 正弦定理、余弦定理教案 苏教版必修5.doc

5正弦定理、余弦定理（一）教学目标：进一步熟悉正、余弦定理内容能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化判断三角形的形状证明三角形中的三角恒等式；通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性.教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换.教学难点：1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向；2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求.教学过程：Ⅰ.复习回顾前面两节课我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面我们先来回顾一下正、余弦定理的内容.正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系运用定理可以进行边与角之间的转换这一节我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知△ABCBD为B的平分线求证：AB∶BC＝AD∶DC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD故要证结论成立可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC从而把问题转化到两个三角形内而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比故可利用正弦定理将所证继续转化为eq\f(ABsin∠ADB)＝eq\f(ADsin∠ABD)eq\f(BCsin∠BDC)＝eq\f(DCsin∠DBC)再根据相等角正弦值相等互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在△ABD内利用正弦定理得：eq\f(ABsin∠ADB)＝eq\f(ADsin∠ABD)即eq\f(ABAD)＝eq\f(sin∠ADBsin∠ABD)在△BCD内利用正弦定理得：eq\f(BCsin∠BDC)＝eq\f(DCsin∠DBC)即eq\f(BCDC)＝eq\f(sin∠BDCsin∠DBC).∵BD是B的平分线.∴∠ABD＝∠DBC∴sinABD＝sinDBC.∵∠ADB＋∠BDC＝180°∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC∴eq\f(ABAD)＝eq\f(sin∠ADBsin∠ABD)＝eq\f(sin∠BDCsin∠DBC)＝eq\f(BCDC)∴eq\f(ABBC)＝eq\f(ADDC)评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.［例2］在△ABC中求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC分析：此题所证结论包含关于△ABC的边角关系证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系若是余弦形式则通过余弦定理；二是把边的关系转化为角的关系一般是通过正弦定理.另外此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式如sin2B＝2sinB·cosB等以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.证明一：（化为三角函数）a2sin2B＋b2sin2A＝（2RsinA）2·2sinB·cosB＋（2RsinB）2·2sinA·cosA＝8R2sinA·sinB（sinAcosB＋cosAsinB）＝8R2sinAsinBsinC＝2·2RsinA·2RsinB·sinC＝2absinC所以原式得证.证明二：（化为边的式子）左边＝a2·2sinBcosB＋b2·2sinA·cosA＝a2·eq\f(2bk)·eq\f(a2＋c2－b22ac)＋b2·eq\f(2ak)·eq\f(b2＋c2－a22bc)＝eq\f(abkc)（a2＋c2－b2＋b2＋c2－a2）＝eq\f(abkc)·2c2＝2ab·eq\f(ck)＝2absinC评述：由边向角转化通常利用正弦定理的变形式：a＝2RsinAb＝2RsinBc＝2RsinC在转化为角的关系式后要注意三角函数公式的运用在此题用到了正弦二倍角公式sin2A＝2sinA·cosA正弦两角和公式sin（A＋B）＝sinA·cosB＋cosA·sinB；由角向边转化要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.三角形的有关证明问题主要围绕三角形的边和角的三角函数展开从某种意义上来看这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.［例3］已知A、B、C是△ABC的三个内角且满足（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinAsinB求证：A＋B＝120°分析：要证A＋B＝120°由于A＋B＋C＝180°