高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案.doc

6．3.4平面向量数乘运算的坐标表示
[目标]1.会实数与向量积的坐标表示；2.记住两个向量共线的坐标表示；3.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题．
[重点]向量共线的坐标表示．
[难点]向量共线的坐标表示的应用．
要点整合夯基础
知识点一平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式
[填一填]
(1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；
(2)设向量a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)．
(3)中点坐标公式：若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))
[答一答]
1．已知A(－5，－1)，B(3，－2)，则－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))的坐标为(－4，eq\f(1,2))．
解析：eq\o(AB,\s\up15(→))＝(3，－2)－(－5－1)＝(8，－1)，
∴－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＝(－4，eq\f(1,2))．
知识点二两个向量共线的坐标表示
[填一填]
(1)向量a，b共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)向量共线的坐标表示的推导
①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．
上式若用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)，
即a∥b⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝λx2，,y1＝λy2))⇔x1y2－x2y1＝0.
②设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0时，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
综上①②，向量共线的坐标表示为a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[答一答]
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，是否对于任意两向量都成立？还需注明b≠0吗？
提示：在向量共线定理中，a∥b⇔a＝λb(λ∈R)必需注明b≠0，而在“本问”中当b＝0时也成立，故不需注明b≠0.
3．当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它们是同向还是反向？
提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．
典例讲练破题型
类型一平面向量数乘运算的坐标表示
[例1]已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq\o(CM,\s\up15(→))＝3eq\o(CA,\s\up15(→))，eq\o(CN,\s\up15(→))＝2eq\o(CB,\s\up15(→))，求M，N及eq\o(MN,\s\up15(→))的坐标．
[分析]首先设出M、N的坐标，结合已知条件，分别建立关于M、N坐标的方程．从而求得M，N的坐标以及eq\o(MN,\s\up15(→))的坐标．
[解]由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得eq\o(CA,\s\up15(→))＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1,8)，eq\o(CB,\s\up15(→))＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，所以eq\o(CM,\s\up15(→))＝3eq\o(CA,\s\up15(→))＝3(1,8)＝(3,24)，eq\o(CN,\s\up15(→))＝2eq\o(CB,\s\up15(→))＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则eq\o(CM,\s\up15(→))＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，
所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋3＝3,y1＋4＝24))，
解得x1＝0，y1＝20；
eq\o(CN,\s\up15(→))＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，
所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3＝12,y2＋4＝6))，解得x2＝9，y2＝2，
所以M(0,20)，N(9,2)，
eq\o(MN,\s\up15(→))＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．

1相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程组.
2进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的