高中数学 第八章 立体几何初步 8.5 空间直线、平面的平行 8.5.1 直线与直线平行学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案.doc

8．5空间直线、平面的平行8．5.1直线与直线平行[目标]1.能用基本事实4解决一些数学问题；2.理解等角定理能用等角定理解决一些数学问题．[重点]基本事实4的应用．[难点]等角定理．要点整合夯基础知识点一基本事实4[填一填][答一答]1．如图在长方体ABCD­A′B′C′D′中DC∥ABA′B′∥ABDC与A′B′平行吗？提示：平行．知识点二等角定理[填一填][答一答]2．已知∠BAC＝30°AB∥A′B′AC∥A′C′则∠B′A′C′＝(C)A．30°B．150°C．30°或150°D．大小无法确定解析：两个角的两边分别对应平行那么这两个角是相等或互补关系所以∠B′A′C′＝30°或150°.3．若两个角的两边分别对应平行且两个角的开口方向相同那么这两个角的关系是什么？提示：相等．典例讲练破题型类型一基本事实4的应用[例1]如图E、F分别是长方体A1B1C1D1­ABCD的棱A1A、C1C的中点求证：四边形B1EDF是平行四边形．[分析]平行四边形是平面图形若能证得四边形的一组对边平行且相等那么这个四边形就是平行四边形．[证明]取DD1的中点点Q连接EQ、QC1.∵E是AA1的中点∴EQ綉A1D1.又在矩形A1B1C1D1中A1D1綉B1C1.∴EQ綉B1C1(基本事实4)∴四边形EQC1B1为平行四边形∴B1E綉C1Q又∵Q、F是矩形DD1C1C的两边中点∴QD綉C1F∴四边形DQC1F为平行四边形∴C1Q綉DF.又∵B1E綉C1Q∴B1E綉DF∴四边形B1EDF为平行四边形．基本事实4表明了平行线的传递性它可以作为判断两直线平行的依据同时也给出空间两直线平行的一种证明方法.[变式训练1]如图已知正方体ABCD­A′B′C′D′中M、N分别为CD、AD的中点求证：四边形MNA′C′是梯形．证明：连接AC.∵M、N为CD、AD的中点∴MN綉eq\f(12)AC.由正方体性质可知AC綉A′C′.∴MN綉eq\f(12)A′C′.∴四边形MNA′C′是梯形．类型二等角定理的应用[例2]如右图在正方体ABCD­A1B1C1D1中EFG分别是ABBB1BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.[证明]连接B1C.因为GF分别为BCBB1的中点所以GF綉eq\f(12)B1C.又ABCD­A1B1C1D1为正方体所以CD綉ABA1B1綉AB由基本事实4知CD綉A1B1所以四边形A1B1CD为平行四边形所以A1D綉B1C.又B1C∥FG由基本事实4知A1D∥FG.同理可证：A1C1∥EGDC1∥EF.又∠DA1C1与∠EGF∠A1DC1与∠EFG∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角所以∠DA1C1＝∠EGF∠A1DC1＝∠EFG∠DC1A1＝∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的它是基本事实4的直接应用并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时它们相等否则它们互补.[变式训练2]如图已知线段AA1、BB1、CC1交于O点且eq\f(OAOA1)＝eq\f(OBOB1)＝eq\f(OCOC1)求证：△ABC∽△A1B1C1.证明：∵AA1与BB1交于点O.且eq\f(OAOA1)＝eq\f(OBOB1)∴A1B1∥AB.同理A1C1∥ACB1C1∥BC.又∵A1B1和ABA1C1和AC方向相反∴∠BAC＝∠B1A1C1同理∠ABC＝∠A1B1C1.∴△ABC∽△A1B1C1.课堂达标练经典1．和直线l都平行的直线ab的位置关系是(C)A．相交B．异面C．平行D．平行、相交或异面解析：由基本事实4可知和直线l都平行的直线ab的位置关系是平行．2．空间两个角αβ的两边分别对应平行且α＝60°则β为(D)A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：如图所示因为空间两个角αβ的两边分别对应平行所以这两个角相等或互补故由α＝60°得β＝60°或120°.3．已知∠BAC＝∠B1A1C1AB∥A1B1则AC与A1C1的位置关系是平行、相交或异面．解析：如图所示∠BAC＝∠B1A1C1AB∥A1B1由图可知AC与A1C1可能平行、相交或异面．4．如图已知EFGH分别是三棱锥A­BCD棱ABBCCDDA的中点AC与BD所成角为60°且AC＝BD＝2则EG＝1或eq\r(3).解析：因为EFGH分别是三棱锥A­BCD棱ABBCCDDA的中点所以EF为△ABC的中位线故EF∥AC且EF＝eq\f(12)AC同理GH为△ACD的中位线故GH∥AC且GH＝eq\f(12)AC所以EF綉GH所以四边形EFGH是平行四边形且EF＝eq