高中数学 第八章 立体几何初步 8.5.1 直线与直线平行学案 新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学学案.doc

8．5.1直线与直线平行考点学习目标核心素养基本事实4理解基本事实4并会用它解决两直线平行问题直观想象、逻辑推理定理理解定理的内容套用定理解决角相等或互补问题直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P133－P135的内容思考以下问题：1．基本事实4的内容是什么？2．定理的内容是什么？1．基本事实4(1)平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性．(2)符号表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥bb∥c))⇒a∥c.2．定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行那么这两个角相等或互补．■名师点拨定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行有一组对应边方向相同另一组对应边方向相反则这两个角互补．判断(正确的打“√”错误的打“×”)(1)如果一个角的两边与另一个角的两边平行那么这两个角相等．()(2)如果两个角相等则它们的边互相平行．()答案：(1)×(2)×已知AB∥PQBC∥QR若∠ABC＝30°则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对答案：B在长方体ABCD­A′B′C′D′中与AD平行的棱有____________(填写所有符合条件的棱)答案：A′D′B′C′BC基本事实4的应用如图EF分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1AC1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．【证明】如图所示取DD1的中点Q连接EQQC1.因为E是AA1的中点所以EQeq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))A1D1.因为在矩形A1B1C1D1中A1D1eq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))B1C1所以EQeq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))B1C1所以四边形EQC1B1为平行四边形所以B1Eeq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))C1Q.又QF分别是D1DC1C的中点所以QDeq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))C1F所以四边形DQC1F为平行四边形所以C1Qeq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))FD.又B1Eeq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))C1Q所以B1Eeq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))FD故四边形B1EDF为平行四边形．eq\a\vs4\al()证明空间中两条直线平行的方法(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．(2)利用基本事实4即找到一条直线c使得a∥c同时b∥c由基本事实4得到a∥b.如图已知EF分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AA1CC1的中点求证：四边形EBFD1是菱形．证明：如图所示在正方体ABCD­A1B1C1D1中取棱BB1的中点G连接C1GEG.因为EG分别为棱AA1BB1的中点所以EGeq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))A1B1.又A1B1eq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))C1D1所以EGeq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))C1D1从而四边形EGC1D1为平行四边形所以D1Eeq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))C1G.因为FG分别为棱CC1BB1的中点所以C1Feq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))BG从而四边形BGC1F为平行四边形所以BFeq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))C1G又D1Eeq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))C1G所以D1Eeq\o(\s\do3(═)\s\up3(∥))BF从而四边形EBFD1为平行四边形．不妨设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a易知BE＝BF＝eq\f(\r(5)2)a故平行四边形EBFD1是菱形．定理的应用如图所示不共面的三条射线OAOBOC点A1B1C1分别是OAOBOC上的点且eq\f(OA1OA)＝eq\f(OB1OB)＝eq\f(OC1OC).求证：△A1B1C1∽△ABC.【证明】在△OAB中因为eq\f(OA1OA)＝eq\f(OB1OB)所以A1B1∥AB.同理可证A1C1∥ACB1C1∥BC