高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的通项公式学案 苏教版必修5-苏教版高一必修5数学学案.doc

2.2.2等差数列的通项公式学习目标1.掌握等差数列通项公式的推导及应用.2.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.3.能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一等差数列的通项公式思考等差数列{an}中首项为a1公差为d如何用a1d表示an?梳理一般地an＝a1＋(n－1)d称为等差数列{an}的通项公式．知识点二等差数列通项公式的几何意义思考已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项公式an＝a1＋(n－1)d如果已知第m项am和公差d又如何表示通项公式an?梳理等差数列通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)其图象为一条直线上孤立的一系列点(1a1)(mam)(nan)都是这条直线上的点．d为直线的斜率故两点(1a1)(nan)连线的斜率d＝eq\f(an－a1n－1).当两点为(nan)(mam)时有d＝eq\f(an－amn－m).知识点三等差数列的性质思考还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？梳理在有穷等差数列中与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….注意到上式中的序号1＋n＝2＋(n－1)＝…有：在等差数列{an}中若m＋n＝p＋q(mnpq∈N*)则am＋an＝________.特别地若m＋n＝2p则an＋am＝________.类型一求等差数列的通项公式例1甲虫是行动较快的昆虫之一下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t(s)123…？…60距离s(cm)9.819.629.4…49…？(1)你能建立一个等差数列的模型表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？(2)利用建立的模型计算甲虫1min能爬多远？它爬行49cm需要多长时间？反思与感悟由于an＝am＋(n－m)d要求通项公式只需求出该数列的任意一项和公差．跟踪训练1已知等差数列{an}：371115….(1)1354m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由；(2)若apaq(pq∈N*)是数列{an}中的项则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由．类型二等差数列通项公式及推广形式的应用命题角度1列方程(组)求基本量例2在等差数列{an}中已知a2＝5a8＝17求数列的公差及通项公式．反思与感悟把已知条件转化为关于a1d的方程组求解是一种常用思想称为方程思想．灵活利用等差数列的性质可以减少运算量．跟踪训练2等差数列{an}为递减数列且a2＋a4＝16a1a5＝28求数列{an}的通项公式．命题角度2等差数列的通项公式与一次函数关系例3已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q其中pq为常数那么这个数列一定是等差数列吗？若是首项和公差分别是多少？反思与感悟从通项公式代数特点上看an＝kn＋b(kb为常数n∈N*)⇔{an}是等差数列．其中公差为k.借助这一性质可以迅速判断某数列是否为等差数列但不宜用来证明．证明要用定义：an＋1－an＝dn∈N*.跟踪训练3若{an}是等差数列下列数列中仍为等差数列的有________个．①{|an|}；②{an＋1－an}；③{pan＋q}(pq为常数)；④{2an＋n}．类型三等差数列性质的应用例4已知等差数列{an}中a1＋a4＋a7＝15a2a4a6＝45求此数列的通项公式．引申探究1．在本例中不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6那么在等差数列{an}中若m＋n＋p＝q＋r＋smnpqrs∈N*是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as?2．在等差数列{an}中已知a3＋a8＝10则3a5＋a7＝________.反思与感悟解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式转化为等差数列的首项与公差求解属于通项方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练4在等差数列{an}中已知a1＋a4＋a7＝39a2＋a5＋a8＝33求a3＋a6＋a9的值．1．在等差数列{an}中已知a3＝10a8＝－20则公差d＝________.2．在等差数列{an}中已知a4＝2a8＝14则a15＝________.3．等差数列{an}中a4＋a5＝15a7＝12则a2＝________.4．下列命题中正确的是________．①若abc成等差数列则a2b2c2成等差数列；②若abc成等差数列则log2alog2blog2c成等差数列；③若abc成等差数列则a＋2b＋2c＋2成等差数列；④若abc成等差数列则2a2b2c成等差数列．1．等差数列{an}中每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列构成的新数列仍然是等差数列．2