高中数学 第2章 数列 2.2.2 等差数列的通项公式学案 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学学案.doc

102．2.2等差数列的通项公式1.掌握等差数列的通项公式并能用公式解决一些简单的问题．2．理解等差数列的性质能熟练运用等差数列的性质解决有关问题．[学生用书P24])1．等差数列的通项公式等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d其中a1为首项d为公差．2．等差数列的常用性质{an}是公差为d的等差数列若正整数mnpq满足m＋n＝p＋q则am＋an＝ap＋aq．(1)特别地当m＋n＝2k(mnk∈N*)时am＋an＝2ak.(2)对有穷等差数列与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”错误的打“×”)(1)若{an}是等差数列则{|an|}也是等差数列．()(2)若{|an|}是等差数列则{an}也是等差数列．()(3)若{an}是等差数列则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.()(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．()解析：(1)错误如－2－1012是等差数列但其绝对值就不是等差数列．(2)错误如数列－12－34－5其绝对值为等差数列但其本身不是等差数列．(3)正确根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2成立．(4)正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3而直线y＝3x＋5的斜率也是3.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．已知等差数列{an}中首项a1＝4公差d＝－2则通项公式an＝________．解析：因为a1＝4d＝－2所以an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.答案：6－2n3．在等差数列{an}中已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450则a2＋a8＝________．解析：因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450所以a5＝90a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.答案：180等差数列的通项公式及其应用[学生用书P24](1)2016是等差数列468…的第______项．(2)在等差数列{an}中已知a5＝10a12＝31则首项a1＝________公差d＝________．(3)已知数列{an}中a1＝1an＋1＝an＋2则数列{an}的通项公式为________．【解析】(1)因为此等差数列的公差d＝2所以an＝4＋(n－1)×2an＝2n＋2即2016＝2n＋2所以n＝1007.(2)由已知有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a5＝a1＋（5－1）da12＝a1＋（12－1）d))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10＝a1＋4d31＝a1＋11d))解得a1＝－2d＝3.(3)因为a1＝1an＋1－an＝2所以a2－a1＝2a3－a2＝2a4－a3＝2…an－an－1＝2.将以上各式等号两边分别相加得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2(n－1)即an－a1＝2(n－1)．又因为a1＝1所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.答案：(1)1007(2)－23(3)an＝2n－1eq\a\vs4\al()在等差数列{an}中首项a1与公差d是两个最基本的元素有关等差数列的问题如果条件与结论间的联系不明显则均可化成有关a1d的关系列方程组求解但是要注意公式的变形及整体计算以减少计算量．1.已知等差数列{an}中a15＝33a61＝217试判断153是不是这个数列的项如果是是第几项？解：设该数列的公差为d则an＝a1＋(n－1)d由已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（15－1）d＝33a1＋（61－1）d＝217))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－23d＝4.))所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27令an＝153即4n－27＝153解得n＝45∈N*所以153是所给数列的第45项．等差数列的性质及应用[学生用书P25](1)已知{an}为等差数列a15＝8a60＝20求a75.(2)在等差数列{an}中a1＋a4＋a7＝15a2a4a6＝45求数列{an}的通项公式．【解】(1)法一：因为{an}为等差数列所以a15a30a45a60a75也成等差数列设其公差为da15为首项则a60为第四项所以a60＝a15＋3d得d＝4所以a75＝a60＋d＝24.法二：设等差数列{an}的首项为a1公差为d.a60＝a15＋45d所以20＝8＋45d所以d＝eq\f(415)a75＝a15＋60d＝8＋60×eq\f(415)＝24.(2)因为a1＋a7＝2a4＝a