高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例知识巧解学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案.doc

2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例疱工巧解牛知识•巧学一、平面几何中的向量方法用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面解决这类题的关键是正确选择基底表示出相关向量这样平面图形的许多性质如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来从而把几何问题转化成向量问题再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了.用向量法(即以向量和向量的运算为工具对几何元素及其关系进行讨论)证明几何问题需把点、线、面等几何要素直接归为向量对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论然后把这些结果翻译成点、线、面的相应结果可简单地表述为：〔形到向量〕——〔向量的运算〕——〔向量和数到形〕.学法一得用向量法证明几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系用向量表示问题中涉及的几何元素将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.二、向量在物理中的应用向量还具有强烈的物理学实际背景.物理学中有两种基本量：标量和矢量.矢量遍布在物理学的很多分支它包括力、位移、速度、加速度、动量等.虽然物理学中的矢量与数学中的向量并不完全相同例如力它除了有方向和大小还有作用点；数学中的向量则只有方向和大小没有作用点.但是这并不影响向量在物理学中的作用.学法一得向量在物理中的应用实际上就是先把物理问题转化成数学问题然后通过向量运算解决向量问题最后再用所获得的结果解释物理现象.在学习过程中一要体会如何把物理问题转化成数学问题即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型二要体会如何利用数学模型的解来解释物理现象.典题•热题知识点一用向量方法证明几何问题例1已知AD、BE、CF分别是△ABC的三条高求证：AD、BE、CF相交于同一点.思路分析：本题主要考查向量在几何中的应用.通常情况下用向量作工具证明几何问题时往往要先设一些向量作为基本向量我们假设两条高BE、CF交于点H再证明AD与BC垂直即可说明结论成立.图2-5-2证明：如图2-5-2AD、BE、CF是△ABC的三条高设BE、CF交于点H=a=b=h则=h-a=h-b=b-a.∵⊥⊥∴(h-a)·b=0(h-b)·a=0.∴(h-a)·b=(h-b)·a.化简得h·(b-a)=0.∴⊥.∴AH与AD重合即AD、BE、CF交于一点.例2在△ABC中点D和E分别在边BC与AC上且BD=BCCE=CAAD与BE交于点R证明RD=ADRE=BE.图2-5-3解：设=e1=e2.取{e1e2}为基底下面我们将用基底表示出来.设=λ=μ.由于=+=e1+(e2-e1)=e1+e2=+=-e1+e2∴=λ=λe1+λe2①=μ=-μe1+μe2.==(1-μ)e1+μe2②根据唯一性由①和②可得λ=1-μ.解得λ=μ=.于是AR=ADRD=AD；BR=BERE=BE.巧解提示：由A、D、R三点共线可设=λ+(1-λ)=λ+(1-λ).③由B、E、R三点共线又设=μ+(1-μ)=μ+(1-μ).④根据唯一性由③④可得λ=μ=.将之代入③④得=+=+即.∴RD=ADRE=.例3如图2-5-4所示在△ABC中设=aAC=b=c=λa(0<λ<1)=μb(0<μ<1)试用向量a、b表示c.图2-5-4思路分析：本题实质是平面向量基本定理的应用因a、b不共线故c可用a、b表示.鉴于图形中三角形较多所以需要从中找出相关的三角形利用向量的加法、减法和向量相等的条件求解.事实上若令λ=μ=的话则点P就成为△ABC的重心.解：∵与共线∴==m(-)=m(μb-a).∴=+=a+m(μb-a)=(1-m)a+mμb.①又∥∴=n=n(-)=n(λa-b).∴=+=b+n(λa-b)=nλa+(1-n)b.②由①②得(1-m)a+mμb=nλa+(1-n)b.∵a、b不共线∴即解之得m=n=1-.将m、n代入①式得c=(1-m)a+mμb=.知识点二选择适当的直角坐标系用坐标法解决有关几何问题例4已知△ABC中∠C是直角CA=CBD是CB的中点E是AB上一点且AE=2EB求证：AD⊥CE.图2-5-5证明：建立如图2-5-5所示的直角坐标系设A(a0)则B(0a)E(xy).∵D是BC的中点∴D(0).又∵AE=2EB即=即(x-ay)=2(-xa-y)∴解之得x=y=.要证AD⊥CE只需证与垂直即·=0.∵=(0)-(a0)=(-a)==()∴·=.∴⊥即AD⊥CE.方法归纳在未给出点的坐标的题目中选用