函数值域和最值求解中的多种思维方法.doc

用心爱心专心函数值域和最值求解中的多种思维方法最值问题几乎涉及到高中数学的各个分支是历年高考重点考查的知识点之一有一些基础题也有一些小综合的中档题更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活综合性强能力要求高．解决这类问题要掌握各数学分支知识能综合运用各种数学技能灵活选择合理的解题方法．考生的运算能力分析问题和解决问题能力在这里充分展现．配方法判别式法部分分式均值不等式换元法函数单调性导数法数形结合法例：当时求函数的最大值和最小值．解析：当时．显然由二次函数的性质可得．例：当时求函数的最大值和最小值．解析：当时．显然由二次函数的性质可得．例：已知求的最值．解析：由已知变形得则即有故．因此无最小值．例已知函数的值域为求常数解析：∵∴即由题意：所以即注意：判别式求函数的值域或已知值域求参数把转化为关于的二次函数通过方程有实根判别式从而求得原函数的值域或参数的值.形如(、不同时为0)常用此法求得例：求函数的最值．解析：令则函数当时当时取等号当时令则＝＝因为即有所以在[2内递增．故所以当时无最大值；当时无最大值．求函数的最值．例实数、适合：设则+=____解析：令则当时；当时．所以．四不等式法例求函数的最小值(、)．解析：当且仅当即时函数取得最小值例24：求函数的最值．解析：将函数式变形为只需求函数的最值．把看成两点连线的斜率(即为单位圆上的点)则当直线为单位圆的切线时其斜率为最大或最小．设过点的单位圆的切线方程为即．则圆心到切线的距离为解得：．从而函数最大值为；最小值为．例（０９1套）若则函数的最大值为解析：复合函数求最值二倍角公式降元化统一采用不同手段可产生多种求解方法：法１二倍角公式降元部分分式用不等式用均值不等式求解。==时法２二倍角公式降元二次函数通过配方求最值=当时法３换元用均值不等式由知则令则当且仅当时等号成立.法４换元导数法令令故当时有最大值；感悟：求函数值域常用方法：二次函数的配方法、数形结合、单调性法、换元法、均值不等式法等方法是高考的必考知识点对这些方法你可有明确的认识？关键是降元化归函数表达式你可有降元意识？０９天津设若的最小值为解析：因为所以时“=”．（09·山东12）设xy满足约束条件若目标函数z=ax+by（a>0b>0）的值是最大值为12则的最小值为解析：:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分当直线ax+by=z（a>0b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（46）时目标函数z=ax+by（a>0b>0）取得最大12即4a+6b=12即2a+3b=6而=故选A.感悟本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域并且能够求得目标函数的最值对于形如已知2a+3b=6求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.（09海南12）用表示三个数中的最小值．设则的最大值为（）A．4B．5C．6D．7解析：理解的含义数形结合确定的表达式：所以的最大值为（08江苏卷）已知则的最小值．分析：本题首先考虑到消元然后用基本不等式放缩。由得代入得当且仅当＝3时取“＝”．(08重庆卷)函数f(x)=的最大值为()解当x=0时f(x)=0显然不是最大值；当x≠0时f(x)==≤等号成立当且仅当x=1成立选B.例求函数的最值．解析：要使有意义必须有即．故当时；当(或)时.例27：求函数的最值．解析：因为结合二次函数图象及其性质：当时．当时．当时．当时．例求函数的最值解析：函数的定义域为；又是上的连续函数故有在上递增在上递减．故函数最大值为最小值为误区警示函数的定义域和值域的限制作用没有认识到位致错例已知函数的值域为求实数的取值范围.错解及辨析：学生常由解得也满足故所求的范围为;追其原因是混淆定义域和值域未理解复合函数的复合过程及函数中定义域对值域的制约作用.事实上用复合函数分解易研究.=的值域为的值域为由对数函数的定义域和值域的制约关系即取遍一切正数其充要条件是解得.即实数的取值范围.感悟本题若改为函数的定义域为则所求的范围为.试比较两种的不同设问下的取值范围再认识复合函数的复合过程及定义域到值域的唯一对应关系.求函数y=的值域y∈R原函数值域为：(-∞)∪(1)∪(1+∞)