高考数学二轮复习 第一篇 专题五 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法教案 理-人教版高三全册数学教案.doc

第3讲立体几何中的向量方法1.(2018·全国Ⅱ卷理9)在长方体ABCDA1B1C1D1中AB=BC=1AA1=则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:法一如图连接BD1交DB1于O取AB的中点M连接DMOM易知O为BD1的中点所以AD1∥OM则∠MOD或其补角为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCDA1B1C1D1中AB=BC=1AA1=AD1==2DM==DB1==所以OM=AD1=1OD=DB1=于是在△DMO中由余弦定理得cos∠MOD==即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为故选C.法二如图分别以DADCDD1所在直线为xyz轴建立空间直角坐标系.由题意得A(100)D(000)D1(00)B1(11)所以=(-10)=(11)所以·=-1×1+0×1+()2=2||=2||=所以cos<>===.故选C.2.(2018·全国Ⅰ卷理18)如图四边形ABCD为正方形EF分别为ADBC的中点以DF为折痕把△DFC折起使点C到达点P的位置且PF⊥BF.(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.(1)证明:由已知可得BF⊥PFBF⊥EF又PF∩EF=E所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)解:如图作PH⊥EF垂足为H.由(1)得PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点的方向为y轴正方向||为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得DE⊥PE.又DP=2DE=1所以PE=.又PF=1EF=2故PE⊥PF.可得PH=EH=.则H(000)P00D-1-0=1=00.又为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为θ则sinθ=||==.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.1.考查角度考查空间向量在求解空间角中的应用.2.题型及难易度解答题难度中等偏上.(对应学生用书第39~41页)向量法求线面角【例1】(2018·石家庄市质量检测二)如图三棱柱ABCA1B1C1中侧面BB1C1C为∠CBB1=60°的菱形AB=AC1.(1)证明:平面AB1C⊥平面BB1C1C;(2)若AB⊥B1C直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°求直线AB1与平面A1B1C所成角的正弦值.(1)证明:如图1连接BC1交B1C于O连接AO因为侧面BB1C1C为菱形所以B1C⊥BC1因为AB=AC1O为BC1的中点所以AO⊥BC1又B1C∩AO=O所以BC1⊥平面AB1C又BC1⊂平面BB1C1C所以平面AB1C⊥平面BB1C1C.(2)解:因为AB⊥B1CBO⊥B1CAB∩BO=B所以B1C⊥平面ABO又AO⊂平面ABO所以AO⊥B1C从而OAOBOB1两两垂直.以O为坐标原点的方向为x轴正方向建立如图2所示的空间直角坐标系Oxyz因为直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°所以∠ABO=30°.设AO=1则BO=又∠CBB1=60°所以△CBB1是边长为2的等边三角形所以A(001)B(00)B1(010)C(0-10)=(01-1)=(0-20)==(0-1).设n=(xyz)是平面A1B1C的法向量则即令x=1则n=(10).设直线AB1与平面A1B1C所成的角为θ则sinθ=|cos<n>|==所以直线AB1与平面A1B1C所成角的正弦值为.利用向量法求线面角的方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(或钝角的补角)取其余角就是斜线和平面所成的角.即线面角的正弦值等于斜线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值.热点训练1:(2018·太原市一模)在四棱锥PABCD中底面ABCD是边长为的正方形PA⊥BD.(1)求证:PB=PD;(2)若EF分别为PCAB的中点EF⊥平面PCD求直线PB与平面PCD所成角的大小.(1)证明:如图连接AC交BD于点O连接PO因为四边形ABCD是正方形所以AC⊥BDOB=OD又PA⊥BDPA⊂平面PACAC⊂平面PACPA∩AC=A所以BD⊥平面PAC又PO⊂平面PAC所以BD⊥PO又OB=OD所以PB=PD.(2)解:设PD的中点为Q连接AQEQ因为E为PC的中点所以EQ∥CDEQ=CD又AF∥CDAB=CDF为AB的中点所以AF=AB=CD所以EQ∥AFEQ=AF所以四边形AQEF为平行四边形所以EF∥AQ因为EF⊥平面PCD所以AQ⊥平面PCD又PD⊂平面PCD所以AQ⊥PD因为Q是PD的中点所以AP=AD=因为AQ⊥平面PCDCD⊂平面PCD所以AQ⊥CD又AD⊥CDAQ∩AD