高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用（第1课时）利用导数研究函数的单调性讲义 理（含解析）-人教版高三全册数学教案.doc

第11讲导数在研究函数中的应用第1课时利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系1．概念辨析(1)若函数f(x)在(ab)内单调递增那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)可导函数f(x)在(ab)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(ab)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(ab)上的任何子区间内都不恒为零．()答案(1)×(2)√(3)√2．小题热身(1)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象则下面判断正确的是()A．在区间(－21)上f(x)是增函数B．在区间(13)上f(x)是减函数C．在区间(45)上f(x)是增函数D．当x＝2时f(x)取到极小值答案C解析观察y＝f′(x)的图象可知f(x)在区间(－21)上先减后增在区间(13)上先增后减在区间(45)上是增函数当x＝2时f(x)取到极大值故只有C正确．(2)f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()A．(04)B．(02)C．(4＋∞)D．(－∞0)答案A解析f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)由f′(x)<0得0<x<4所以f(x)的单调递减区间为(04)．(3)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞2)B．(03)C．(14)D．(2＋∞)答案D解析函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系得当f′(x)>0时函数f(x)单调递增此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex>0解得x>2.(4)已知f(x)＝x3－ax在[1＋∞)上是增函数则a的最大值是________．答案3解析由题意得f′(x)＝3x2－a≥0对x∈[1＋∞)恒成立即a≤3x2对x∈[1＋∞)恒成立所以a≤3.经检验a＝3也满足题意所以a的最大值是3.题型eq\a\vs4\al(一)不含参数的函数的单调性1．已知函数f(x)＝xlnx则f(x)()A．在(0＋∞)上单调递增B．在(0＋∞)上单调递减C．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0\f(1e)))上单调递增D．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0\f(1e)))上单调递减答案D解析f′(x)＝x′lnx＋x(lnx)′＝lnx＋1.由f′(x)＝0得x＝eq\f(1e)当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0\f(1e)))时f′(x)<0f(x)单调递减当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1e)＋∞))时f′(x)>0f(x)单调递增故只有D正确．2．函数f(x)＝eq\f(3xx2＋1)的单调递增区间是()A．(－∞－1)B．(－11)C．(1＋∞)D．(－∞－1)或(1＋∞)答案B解析函数f(x)的定义域为Rf′(x)＝eq\f(31－x2x2＋12)＝eq\f(31－x1＋xx2＋12).要使f′(x)>0只需(1－x)(1＋x)>0解得x∈(－11)．3．(2019·江西金溪一中等校联考)已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示则函数g(x)＝eq\f(fxex)的单调递减区间为()A．(04)B．(－∞1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(43)4))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0\f(43)))D．(01)(4＋∞)答案D解析由题图可知先减后增的那条曲线为f′(x)的图象先增后减最后增的曲线为f(x)的图象．因为g(x)＝eq\f(fxex)所以g′(x)＝eq\f(f′xex－fxexex2)＝eq\f(f′x－fxex)由图象可知当x∈(01)和(4＋∞)时f′(x)<f(x)此时g′(x)<0.故函数g(x)的单调递减区间为(01)(4＋∞)．条件探究若举例说明1中的函数变为f(x)＝eq\f(lnxx)试求f(x)的单调区间．解函数的定义域为(0＋∞)f′(x)＝eq\f(1－lnxx2)令f′(x)＝0得x＝e.所以当x∈(0e)时f′(x)>0函数f(x)为增函数当x∈(e＋∞)时f′(x)<0函数f(x)为减函数．所以函数f(x)的单调递增区间为(0e)单调递减区间为(e＋∞)．确定不含参数的函