高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用 第1课时 利用导数研究函数的单调性创新教学案（含解析）新人教版-新人教版高三全册数学教学案.doc

第11讲导数在研究函数中的应用
第1课时利用导数研究函数的单调性
[考纲解读]1.了解函数的单调性与导数的关系．(重点)
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2021年会考查函数的单调性与导数的关系，题型有两个：①利用导数确定函数的单调性；②已知单调性利用导数求参数的取值范围．常以解答题形式出现，属中档题.
函数的单调性与导数的关系
条件结论函数y＝f(x)
在区间(a，b)
上可导f′(x)>0f(x)在(a，b)内eq\o(□,\s\up1(01))单调递增f′(x)<0f(x)在(a，b)内eq\o(□,\s\up1(02))单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是eq\o(□,\s\up1(03))常数函数

1．概念辨析
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()
(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)上单调递减．()
答案(1)×(2)√(3)√
2．小题热身
(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是()

答案C
解析由y＝f′(x)的图象易得，当x<0或x＞2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0.所以函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，故选C.
(2)f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()
A．(0,4) B．(0,2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，0)
答案A
解析f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0得0<x<4，所以f(x)的单调递减区间为(0,4)．
(3)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案D
解析函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2.
(4)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．
答案3
解析由题意得，f′(x)＝3x2－a≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，即a≤3x2对x∈[1，＋∞)恒成立，所以a≤3.
经检验a＝3也满足题意，所以a的最大值是3.

题型一不含参数的函数的单调性

1．函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是()
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
答案D
解析依题意得f′(x)＝ex－e.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝ex－e>0，解得x>1.
2．函数f(x)＝eq\f(3x,x2＋1)的单调递增区间是()
A．(－∞，－1) B．(－1,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)或(1，＋∞)
答案B
解析函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝eq\f(31－x2,x2＋12)＝eq\f(31－x1＋x,x2＋12).要使f′(x)>0，只需(1－x)(1＋x)>0，解得x∈(－1,1)．
3．已知函数f(x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(a,x)－lnx－eq\f(3,2)，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝eq\f(1,2)x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解(1)对f(x)求导得f′(x)＝eq\f(1,4)－eq\f(a,x2)－eq\f(1,x)，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝eq\f(1,2)x，
知f′(1)＝－eq\f(3,4)－a＝－2，解得a＝eq\f(5,4).
(2)由(1)知f(x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(5,4x)－lnx－eq\f(3,2)(x>0)．
则f′(x)＝eq\f(x2－4x－5,4x2).
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
但－1∉(0，＋∞)，舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0.
∴f(x)的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0,5)．
条件探究将本例中的函数变为f(x)＝eq\f(1,2)x