如何理解高中几何证明.doc

如何理解高中新课程中几何证明的要求与以往高中数学课程中的立体几何内容相比，《标准》中立体几何内容的变化主要表现在几何定位的变化，几何内容处理方式的变化以及几何内容的分层设计等方面。《标准》中的立体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象与几何直觉的能力、逻辑推理能力等。在处理方式上，与以往点、线、面、体，从局部到整体展开几何内容的方式不同，《标准》按照整体到局部的方式展开几何内容，并突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程。立体几何内容分层设计，在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质。对于进一步的论证与度量则放在选修系列2中用向量处理。在处理立体几何的证明问题时，老师应从以下几个方面把握。（1）立体几何中的证明始终是高中数学中的难点。标准对立体几何内容是分层设计的。因此，立体几何中的证明也要分层，不能一步到位。在立体几何初步中，首先，以长方体作为载体，给出了点、直线、平面的位置关系，以及一些基本的概念。通过直观感知、操作确认，归纳出了四个判定定理和四个性质定理，还有一个从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理。本部分明确给出的定理共有九个。四个判定定理：①若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。②如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。③如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。四个性质定理：①一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。③垂直于同一平面的两条直线平行。④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理，在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明。（2）立体几何初步这部分，我们希望能使学生初步感受综合几何的证明。在处理证明时，要充分发挥几何直观的作用，而不是形式上的推导。例如，平行于同一平面的二直线平行的证明方法，有的老师就是采用了一种很直观的证明方法。直线a、b垂直于同一平面，只有两种情况，直线a、b共面或者异面。如果是共面则直接转化为平面几何的问题，结论易证。如果是异面，则过B点作直线c与直线a平行，可得，直线c与直线a共面，且直线c也垂直于平面。因为直线b和直线c相交于点B，所以直线b和直线c也在同一个平面内。又因为过B点有两条直线b和c都垂直于平面，这与公理矛盾。所以原命题得证。反证法使学生比较难理解的方法，老师可以通过上述这种直观的方法，来帮助学生理解这个定理的证明。（3）要把握好立体几何初步中证明的“度”。在立体几何初步部分，标准只要求用综合几何的方法证明四个性质定理和运用已获得的证明结论证明一些空间关系的简单命题。对于一些复杂的证明问题，则在选修2系列中用向量的方法来处理。