高三数学集合与简易逻辑教案.doc

用心爱心专心集合与简易逻辑一、基础知识：元素与集合：a∈AbA集合与集合：ABABABA∩BA∪BA……差集：A－B＝{x|x∈A且xB}(部分资料上用“A\B”表示)集合运算律：（略）n个元素的集合所有子集个数为：2n覆盖与划分：如果集合S＝S1∪S2∪……∪Sn则S1、S2、……、Sn叫做集合S的一个覆盖；如果同时又有Si∩Sj＝φ(i≠j)则S1、S2、……、Sn叫做集合S的一个划分．容斥原理：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)＋card(A∩B∩C)该结论可以推广到n个集合．命题与推理：简单命题与复合命题逻辑关连词“或”、“且”、“非”的应用逆命题、否命题、逆否命题及其真假性的判断充要条件：如果AB则称A是B的充分条件同时称B是A的必要条件数学悖论：对于命题p如果p正确则可以推导出“非p”而如果p错误又可以推导出p正确。也称“二难问题”。二、例题：已知集合A＝{13x}B＝{1x2}A∪B＝{13x}则这样的x的不同的值有()个A．1B．2C．3D．4已知集合M中的元素都是自然数且如果x∈M则8－x∈M则满足这样条件的集合M的个数为()(注：自然数包括0)A．64B．32C．16D．8求集合{x∈Z|≤2x＜32}的真子集个数．在1～120的120个自然数中素数与合数各有多少个？已知M＝{aa＋da＋2d}N＝{aaqaq2}且M＝N求q的值．在数理化三科竞赛辅导中高一10、11、12班参加数学辅导的有168人参加物理辅导的有187人参加化学辅导的有155人数学、物理两科都参加的有139人数学、化学两科都参加的有127人物理、化学两科都参加的有135人数理化三科都参加的有102人问这三个班总共有多少人至少参加了一科的辅导？解：根据容斥原理至少参加一科辅导的学生人数为：168＋187＋155－139－127－135＋102＝211求证：任意n＋1个整数中总有两个整数的差能被n整除。提示：利用余数构造n个集合根据抽屉原理至少有两个整数放在一个集合里它们同余它们的差一定能被n整除．证明：若购买超过17千克（整数千克）的粮食只用3千克和10千克的粮票支付而无需要找补。解：本题其实就是证明大于17的整数都能表示为3m＋10n的形式其中mn都是非负整数．注意到：大于17的整数可以写成3k3k＋13k＋2(k≥6)的形式而3k＋1＝3(k－3)＋103k＋2＝3(k－6)＋10×2因此它们都能够表示成3m＋10n的形式其中mn都是非负整数．设A是数集满足若a∈A则∈A且1A．⑴若2∈A则A中至少还有几个元素？求出这几个元素．⑵A能否为单元素集合？分别在实数集和复数集中进行讨论．⑶若a∈A证明：1－∈A．解：⑴2∈A－1∈A∈A2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合则a＝即a2－a＋1＝0该方程无实数解故在实数范围内A不可能是单元素集但该方程有两个虚数解：a＝i故在复数范围内A可以是单元素集A＝{i}或A＝{i}⑶a∈A∈A∈A即1－∈A设S为集合{123……50}的一个子集且S中任意两个元素之和不能被7整除则S中元素最多有多少个？将这50个数按照7的余数划分成7个集合A0={7142128354249}A1={18152229364350}A2={291623303744}A3={3101724313845}A4={4111825323946}A5={5121926334047}A6={6132027344148}除去A0中的7个元素外其余集合中的元素都不能被7整除而且其余六个集合的每一个集合中任意两个元素之和也不能被7整除但是A1和A6、A2和A5、A3和A4中如果各取一个元素的话这两个元素之和能够被7整除因此所求集合中的元素可以这样构成：A0中取一个然后在A1和A6、A2和A5、A3和A4每一组的两个集合中取一个集合中的所有元素为了“最多”必须取A1中的8个然后可以取A2、A3中各7个元素因此S中元素最多有1+8+7+7=23个已知集合A中有10个元素且每个元素都是两位整数证明：一定存在这样两个A的子集它们中没有相同的元素而它们的元素之和相等．解：这10个元素的总和S＜100×10＝1000而A的子集总共有210＝1024＞1000＞S根据抽屉原理至少存在两个子集他们的元素之和相等记为M、N如果M、N没有公共元素则M、N就是满足题意的子集命题