高中数学 1.3算法案例（结）新人教A版必修3-新人教A版高中必修3数学素材.doc

eq\a\vs4\al(1.3算法案例)（结）求最大公约数[例1]用辗转相除法求80和36的最大公约数并用更相减损术检验所得结果．[自主解答]用辗转相除法：80＝36×2＋836＝8×4＋48＝4×2＋0.故80和36的最大公约数是4.用更相减损术检验：80－36＝4444－36＝836－8＝2828－8＝2020－8＝1212－8＝48－4＝4.故80和36的最大公约数是4.——————————————————求两数的最大公约数可用辗转相除法和更相减损术两种方法一般地用辗转相除法比用更相减损术运算步骤更简捷、更有效．所谓辗转相除法就是对于给定的两个正整数用较大的数除以较小的数．若余数不为零则将余数和较小的数构成新的一对数继续上面的除法直到大数被小数除尽则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数．——————————————————————————————————————1．用两种方法求378和90的最大公约数．解：法一：辗转相除法：378＝90×4＋1890＝18×5＋0所以378与90的最大公约数是18.法二：更相减损术：因为378与90都是偶数．所以用2约简得189和45.189－45＝144144－45＝9999－45＝5454－45＝945－9＝3636－9＝2727－9＝1818－9＝9.所以378与90的最大公约数为2×9＝18.秦九韶算法的应用[例2]用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x4－6x3－5x2＋4x－6在x＝5时的值．[自主解答]由于f(x)＝2x4－6x3－5x2＋4x－6＝(((2x－6)x－5)x＋4)x－6.根据秦九韶算法我们有：v0＝2v1＝2x－6＝2×5－6＝4v2＝4x－5＝4×5－5＝15v3＝15x＋4＝15×5＋4＝79v4＝79x－6＝79×5－6＝389.——————————————————1．秦九韶算法的步骤2．应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的问题(1)要正确将多项式的形式进行改写．eq\a\vs4\al((2)计算应由内向外依次计算.(3)当多项式函数中间出现空项式要以系数为零的齐次项补充.)——————————————————————————————————————2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1当x＝2时的值．解：根据秦九韶算法把多项式改写成如下形式：f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.而x＝2所以有v0＝8v1＝8×2＋5＝21v2＝21×2＋0＝42v3＝42×2＋3＝87v4＝87×2＋0＝174v5＝174×2＋0＝348v6＝348×2＋2＝698v7＝698×2＋1＝1397.所以当x＝2时多项式的值为1397.进位制及其转化[例3]将八进制数3726(8)化成十进制数．[自主解答]∵3726(8)＝3×83＋7×82＋2×8＋6＝2006∴3726(8)＝2006.将本例改为“化为五进制数”其结果又该如何？解：把上式中各步所得余数从下到上排列得到2006＝31011(5)∴3726(8)＝31011(5)．——————————————————1．非十进制数之间的转化需先将其先化为十进制数再将十进制数化为另一进制数．如：八进制数化为二进制数则先将八进制数化为十进制数；再将十进制数化为二进制数．2．注意除k取余法的余数取法：从下向上．——————————————————————————————————————3．将八进制数74化成二进制数．解：首先将八进制数74化成十进制数：74(8)＝7×81＋4×80＝60(10)然后再将十进制数60化成二进制数.所以60(10)＝111100(2)．综上可得76(8)＝111100(2)．若二进制数10b1(2)和三进制数a02(3)相等求正整数ab.[巧思]先将这两个数化为十进制数再利用两数相等同时注意ab的取值范围来求ab的值．[妙解]∵10b1(2)＝1×23＋b×21＋1＝2b＋9a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2∴2b＋9＝9a＋2.即9a－2b＝7.又∵a∈{12}b∈{01}．∴当a＝1时b＝1符合题意；当a＝2时b＝eq\f(112)不合题意．∴a＝1b＝1.1．下列各数中可能是五进制的数是()A．55B．106C．732D．2134解析：五进制的数是0～4之间的数．答案：D2．用辗转相除法求294和84的最大公约数时需要做除法的次数是()A．1B．2C．3D．4解析：由294＝84×3＋4284＝42×2知共需做2次除法．答案：B3．用秦九韶