非线性发展方程的达布变换与解析解的符号计算研究.doc

非线性发展方程的达布变换与解析解的符号计算研究非线性发展方程在气象学、物理学、甚至工程技术等领域都扮演着重要的角色,也是非线性科学领域研究的重点问题.利用非线性发展方程进行数学建模是了解和刻画复杂物理现象的重要手段.基于符号计算研究非线性发展方程的解析解可以帮助人们洞察系统内部的结构和不同量之间的关系,从而有效拓宽非线性发展方程的应用范围.求解非线性发展方程会涉及大量复杂的计算和推导,这对传统依靠手工的研究方式提出了巨大的挑战.随着计算机软件技术的飞速发展,各种高性能符号计算软件的诞生和蓬勃发展提升了人们处理复杂繁琐符号计算的能力和水平,同时也促进、推动了非线性科学的发展.本文以符号计算软件Maple为平台,开展了非线性发展方程的达布变换与解析解的构造算法与机械化研究工作,具体包括以下两部分工作:第一部分围绕达布变换的基本理论,以符号计算系统Maple为工具,构造了几个复杂非线性系统的达布变换及多种不同类型的解析解.基于经典达布变换,研究获得了(2+1)维非局域NLS方程的N次达布变换与多种类型的解析解.经典达布变换随着迭代次数的增加计算难度迅速增加,广义达布变换克服了其这一局限性.基于广义达布变换,我们构造了FNLS方程的N次广义达布变换和多种不同类型的解析解.但对有些非线性发展方程,可能无法找到其微分形式的达布变换.因此,可引入包含积分运算的达布变换(二元达布变换)来构造非线性发展方程的达布变换和解析解.基于二元达布变换,本文研究了非局域DSII方程的二元达布变换,并获得了非局域DSII方程的呼吸子和lump解等.第二部分利用简单Hirota方法、长极限方法和待定系数法提出了构造高维非线性发展方程的高阶lump解及相互作用解的机械化算法,并研发了相应的符号计算软件LumpSolver.构造非线性发展方程的lump解、怪波解及相互作用解是近几年国内外非线性数理方程方面的研究热点之一.纵观近几年的相关研究成果,构造非线性发展方程的lump解主要有两种方法,即直接代数方法和长极限法.直接代数方法的思路简单,但其计算过程中的非线性代数方程组的求解是一个计算瓶颈,基于该方法很难能构造出高阶lump解.长极限法是基于非线性发展方程的孤子解来构造lump解,即基于高阶孤子解来构造高阶lump解.本文应用长极限方法构造非线性发展方程的高阶lump解.在研究过程中通过仔细分析我们发现著名的N-孤子解公式仅对可积方程有效,一般对不可积方程不满足.本文将非线性可积方程的N孤子解公式推广到了不可积方程情形,通过反复分析、测试,给出了不可积方程N孤子解公式的一类约束条件.在此基础上,发展出了构造非线性发展方程lump解及相互作用解的机械化算法,并研发了相应的符号计算软件LumpSolver.该研究成果为微分方程的相关研究提供了有效的工具.