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子流形上整体几何与几何分析的若干问题研究的开题报告
一、研究背景及意义
子流形的研究在微分几何领域中是一个重要而广泛的课题。子流形不仅具有数学上的纯粹性质，而且在数学物理、双曲几何和李群理论中也有着广泛的应用。子流形的整体几何和几何分析是子流形研究的重要分支，它们通过对子流形的纯粹几何性质的理解和对局部几何结构的分析，揭示了子流形的同伦不变性、曲率性质和最低谱的性质等重要信息。
目前，子流形上整体几何与几何分析的研究内容已经趋于深入和广泛，但在一些问题上仍存在一些尚未解决的难题，例如：子流形的带权体积估计问题、子流形上的平均曲率估计问题、子流形上的正则性问题等等。因此研究子流形上整体几何与几何分析的若干问题是非常具有科学意义和应用价值的。
二、研究内容和方法
本文将围绕以下几个问题进行研究：
1.子流形上的细胞分解和同调群计算；
2.子流形上的谱几何和广义特征值问题；
3.子流形上的平均曲率估计问题；
4.子流形上的带权体积估计问题；
5.子流形上的正则性问题。
主要方法为微分几何的基本技巧，如黎曼度量、测地线、切丛、余切丛、共形变换等，以及代数拓扑、代数几何和算子理论等方面的工具。
三、研究计划和进度安排
1.子流形上的细胞分解和同调群计算（2个月）：
阅读相关文献，学习细胞分解的基本理论和方法，掌握计算子流形同调群的技巧和方法。研究子流形的同调群与子流形的几何性质之间的关系。
2.子流形上的谱几何和广义特征值问题（3个月）：
阅读相关文献，初步了解子流形上的谱几何和广义特征值问题，掌握测地线积分、曲率积分等基本计算技巧，研究特征值与子流形几何性质之间的关系。
3.子流形上的平均曲率估计问题（2个月）：
阅读相关文献，研究平均曲率的定义和性质，掌握曲率张量的计算方法，研究平均曲率与子流形几何性质之间的关系，得到关于平均曲率的估计结果。
4.子流形上的带权体积估计问题（3个月）：
阅读相关文献，学习带权体积的定义和计算方法，掌握子流形在黎曼流形中的嵌入技巧，研究带权体积与子流形几何性质之间的关系，并得到关于带权体积的估计结果。
5.子流形上的正则性问题（2个月）：
阅读相关文献，了解子流形正则性的概念和方法，研究子流形上的正则性问题，并得到正则性理论方面的结果。
四、参考文献
[1]Eells,JamesandLemaire,Luc.Areportonharmonicmaps.BulletinoftheLondonMathematicalSociety,1983,10(1):1–68.
[2]Bryant,R.L.;Chern,S.S.;Gardner,R.B.;Goldschmidt,H.L.&Griffiths,P.A.ExteriorDifferentialSystems,GraduateStudiesinMathematics18,AmericanMathematicalSociety,1991.
[3]Chern,S.S.Complexmanifoldswithoutpotentialtheory,1977.
[4]Calabi,E.CompleteaffinehyperspheresI,JournalofDifferentialGeometry,1970,5:355-394.
[5]Borel,A.;Wallach,N.ContinuousCohomology,DiscreteSubgroups,andRepresentationsofReductiveGroups,SecondEdition,2000.