曹广福版实变函数第二章习题解答.pdf

第二章习题参考解答第二章习题参考解答1：证明：有理数全体是R中可测集，且测度为0.证：（1）先证单点集的测度为0.xR，令E{x}.0,nNI(x,x)，因为m*Einf{|I|IE，}nn1n1nnIn为开区间n122n1|In|.故m*E0.所以E可测且mE0.n1n12n（2）再证：R中全体有理数全体Q测度为0.设{rn}n1是R中全体有理数，nN，令En{rn}.则{En}是两两不相交的可测集列，由可测的可加性有：m*Qm(En)mEn00.n1n1n1法二：设Q{rn}n1，nN，令In(rnn1,rnn1)，其中是预先给定的22()与n无关的正常数，则：m*Qinf{|I|IQ}|I|.niin由得i1n1i1i12任意性，m*Q0.n2.证明：若E是R有界集，则m*E.n证明：若E是R有界.则常数M0，使x(x1,x2,xn)E，有Enn22(xi0)xiM，即i(1in)，有xiM，从而i1i1nE[xiM,xiM].i1nnn所以m*Em*[xiM,xiM]2M(2M)i1i13.至少含有一个内点的集合的外测度能否为零？n解：不能.事实上，设ER，E中有一个内点x(x1,xn)E.0,使得nnnO(x,)(xi,xi)E.则m*Em*[(xi,xi)]0i122i1221第二章习题参考解答所以m*E0.4.在[a,b]上能否作一个测度为ba，但又异于[a,b]的闭集？解：不能事实上，如果有闭集F[a,b]使得mFba.不失一般性，可设aF且bF.事实上，若aF，则可作F*{a}F，F*[a,b].且mF*m{a}mFmF.这样，我们可记F*为新的F，从而[a,b]F(a,b)F(a,b)F(a,b).如果[a,b]F，即x[a,b]F(a,b)F，而(a,b)F是开集，故x是[a,b]F的一个内点，由3题，m*([a,b]F)m([a,b]F)m(a,b)mF0.这与mFba矛盾.故不存在闭集F[a,b]且mFba5.若将§1定理6中条件"m(En)"去掉，等式m(limEn)limmEn是否仍nnnk0成立？解：§1定理6中条件"m(En)"是不可去掉的.nk0事实上，nN，令En[n1,n)，则{En}n1是两两相交的可测集列，由习题一得15题：limEnlimEn.故m(limEn)0，但nN，mEnm[n1,n)1.所以nnnlimmEn1.从而limmEnm(limEn).nnn6.设E1，E2,是[0,1)中具有下述性质的可测集列：0，kN使mEk1，证明：m(Ei)1i1证：事实上，0，因为kN，mEk11m[0,1]m(Ei)mEk1i17.证明：对任意可测集A,B，下式恒成立.m(AB)m(AB)mAmB.证明：AB(ABA)A且(ABA)A故m(AB)m(ABA)mA.即m(AB)mAm(ABA)m(BA)2第二章习题参考解答又因为B(BA)(BA).且(BA)(BA)，所以mBm(BA)m(BA)故m(AB)mAmBm(AB)，从而m(AB)m(AB)mAmB8.设是A1，A2是[0,1]中的两个可测集且满足mA1mA21，证明：m(A1A2)0.证：m(A1A2)m(A1A2)mA1mA2.又因为m(A1A2)m([0,1])1所以m(A1A2)mA1mA2m(A1A2)mA1mA2109.设A1，A2，A3是[0,1]中的两个可测集，且mA1mA2mA32，证明：m(A1A2A3)0证：m(A1A2A3)m[(A1A2)A3]m(A1A2)mA3=m(A1)m(A2)m(A3)m(A1A2).所以m(A1A2)m[(A1A2A3)]m(A1)m(A2)m(A3)m(A1A2A3)又因为m[(A1A2)(A2A3)(A3A1)]=m[(A1A2)(A1A2A3)]=m(A1A2)m[(A1A2A3)]m[(A1A2)[(A1A2A3)]=m(A1A2)+m[(A1A2)A3]m[(A1A2A3].所以m(A1A2A3)m(A1A2)m[(A1A2A3)]m[(A1A2)(A2A3)(A3A1)]=m(A1)m(A2)m(A3)m(A1A2A3)m[(A1A2)(A2A3)(A3A1)]因为m(A1A2A3)m[0,1]1m[(A1A2)(A2A3)(A3A1)]m[0,1]1.所以m(A1A2A3)m(A1)m(A2)m(A3)11m(A1)m(A2)m(A3)20.10.证明：存在开集G，使mGmG证明：设{rn}n1是[0,1]闭区间的一切有理数，对于nN，令3第二章习题参考解答11I(r,r)nnn2nn2，并且GIn是R中开集22n1121211mGmInn1.而，G[0,1]，故mGm[0,1]1mG.n1n121221211.设E是R中的不可测集，A是R中的零测集，证明：E