实变函数习题解答.docx

第一章习题解答
1、证明A(BC)＝(AB)(AC)
证明：设xA(BC)，则xA或x(BC)，若xA，则xAB，且xAC，从而x(AB)(AC)。若xBC，则xB且xC，于是xAB且xAC，从而x(AB)(AC)，因此
A(BC)(AB)(AC)……………(1)
设x(AB)(AC)，若xA，则xA(BC)，若xA，由xAB且xAC知xB且xC，所以xBC，所以xA(BC)，因此
(AB)(AC)A(BC)……………(2)
由(1)、(2)得，A(BC)＝(AB)(AC)。
2、证明
①A－B＝A－(AB)＝(AB)－B
②A(B－C)＝(AB)－(AC)
③(A－B)－C＝A－(BC)
④A－(B－C)＝(A－B)(AC)
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⑤(A－B)(C－D)＝(AC)－(BD)
⑥A－(A－B)＝AB
证明：①A－(AB)＝AC(AB)＝A(CACB)
＝(ACA)(ACB)＝(ACB)＝A－B
(AB)－B＝(AB)CB＝(ACB)(BCB)
＝(ACB)＝A－B
②(AB)－(AC)＝(AB)C(AC)
＝(AB)(CACC)＝(ABCA)(ABCC)＝[A(BCC)]＝A(B－C)
③(A－B)－C＝(ACB)CC＝AC(BC)
＝A－(BC)
④A－(B－C)＝AC(BCC)＝A(CBC)
＝(ACB)(AC)＝(A－B)(AC)
⑤(A－B)(C－D)＝(ACB)(CCD)
＝(AC)(CBCD)＝(AC)C(BD)
＝(AC)－(BD)
⑥A－(A－B)＝AC(ACB)＝A(CAB)
＝(ACA)(AB)＝(AB)＝AB
3、证明：(AB)－C＝(A－C)(B－C)
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A－(BC)＝(A－B)(A－C)
证明：(AB)－C＝(AB)CC
＝(ACC)(BCC)＝(A－C)(B－C)
(A－B)(A－C)＝(ACB)(ACC)
＝(AA)(CBCC)＝AC(BC)＝A－(BC)
4、证明：()＝
证明：设()，则，于是，、，从而，所以，，所以，()。
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设，则、，即，于是，，即()，所以()，由以上两步得
()=
5、证明：
①()－B＝(－B)
②()－B＝(－B)
证明：①()－B＝()CB
＝(CB)＝(－B)
②()－B＝()CB
=(CB)＝(－B)
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6、设{}是一列集合，作=，=-()>1。证明是一列互不相交的集，而且=，=1，2，3，…。
证明：设≠，不妨设<，因为，
[-()]
=[(C)]
=[C(C)]=(C)
(C)=()=
∴=，{}互不相交。
∵，∴=。
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另一方面，设，则存在最小的自然数，使，，∴-=，
∴∴=。
7、设=(0，)，=(0，)，=1，2，…，求出集列{}的上限集和下限集。
解：。∵=(0，)，=(0，)，
∴。
=()==(0，)=(0，∞)
==(0，∞)=(0，∞)
=()=
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=(0，)=
∴===。
8、证明：=
证明：，≥，有，，∴=。
9、作出一个(－1，1)和(－∞，＋∞)的1—1对应，并写出这一对应的解析表达式。
解：y=tg，(－1，1)，y(－∞，＋∞)。
10、证明将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的。
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证明：用P表示在球面上挖去的那一点，P与球心O的连线交球面于M，过M作球面的切平面，过P点和球面上任一点引直线，该直线与平面交于，将与对应，P与M对应，则球面上的点与整个平面上的点用上述方法构成一个一一对应，由对等的定义，挖去一点的球面与平面是对等的。
11、证明由直线上互不相交的开区间作为集A的元素，则A至多为可数集。
证明：由有理数的稠密性知，在每一区间中至少含有一个有理数，在每一开区间中任取一有理数与该区间对应，由于开区间互不相交，故不同开区间对应不同的有理数，但有理数全体为一可数集，其子集至多是可数集，所以直线上互不相交的开区间作成的集至多是可数集。
12、证明所有系数为有理数的多项式组成一可数集。
证明：以表示这个集合，表示次有理系数多项式的全体，则=。
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由+1个独立记号，即次多项式的＋1个有理系数所决定，其中首项系数为异于0的有理数，其余系数可取一切有理数，因此，每个记号独立地跑遍一个可数集，所以，是可数集，也是可数集。
13、设A是平面上以有理点（坐标为有理数的点）为中心，有理数为半径的圆的全体，则A是可数集。
证明：A中任一元素由三个独立记号（a，b，r）所决定，其中（a，b）是圆心的坐标，r是圆的半径，a、b各自跑遍全体有理数，r跑遍大于0的有理数，而且它们都是可数集，故A是可数集。
14、证明单调增加函数的不连续点最多只有可数多个。
证明：设是(－∞，＋∞)上的单调增加函数，其不连续点的全体记为E，设E，由数学分析知，必为第一类不连续点，即其左、右极限、必存在，且<