直线与双曲线位置关系.docx

/NUMPAGES9直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点1：直线与双曲线的位置关系1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线y=kx+b，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)联立消去y得Ax2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B2－4AC。若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点；若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点；若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.弦长问题设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2－4ac。弦长公式：（k为直线斜率）例题选讲：例1：直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B．求实数k的取值范围；解(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－2≠0，,Δ＝(2k)2－8(k2－2)>0，,－\f(2k,k2－2)>0，,\f(2,k2－2)>0.))解得k的取值范围是－2<k<－eq\r(2).例2：已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问是否存在直线使平分线段。试证明你的结论。例3：已知椭圆C1的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋eq\r(2)与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>2(其中O为原点)，求k的取值范围．解(1)设双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，则a2＝4－1＝3，c2＝4，由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故C2的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)将y＝kx＋eq\r(2)代入eq\f(x2,3)－y2＝1，得(1－3k2)x2－6eq\r(2)kx－9＝0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0.,Δ＝(－6\r(2)k)2＋36(1－3k2),＝36(1－k2)>0.))∴k2≠eq\f(1,3)且k2<1.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(6\r(2)k,1－3k2)，x1x2＝eq\f(－9,1－3k2).∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋eq\r(2))(kx2＋eq\r(2))＝(k2＋1)x1x2＋eq\r(2)k(x1＋x2)＋2＝eq\f(3k2＋7,3k2－1).又∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>2，得x1x2＋y1y2>2，∴eq\f(3k2＋7,3k2－1)>2，即eq\f(－3k2＋9,3k2－1)>0，解得eq\f(1,3)<k2<3，②由①②得eq\f(1,3)<k2<1.故k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(3),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).例4：已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．（1）求双曲线方程；（2）若点在双曲线上，求证：；（3）对于（2）中的点，求的面积．解：（1）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，解得∴双曲线方程为；（2）由（1）可知，，，∴，∴，，∴，又点在双曲线上，∴，∴，即；（3）∴的面积为6．知识点2：抛物线及其标准方程1．抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈R对称轴x轴顶点坐标原点O(0,0)焦点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\l