考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料.doc

78B第四章不定积分78B持之以恒，厚积薄发第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质一、原函数的定义原函数:若对于，有或，称为在区间内的原函数。原函数存在定理：连续函数必有原函数——即若在上连续，则必存在，使得当时，。【例1】设是在上的一个原函数，则在上（）可导（B）连续（C）存在原函数（D）是初等函数【答案】（C）【例2】（92二）若的导函数是，则有一个原函数为.（B）.（C）.（D）.【答案】（B）二、不定积分的定义不定积分：在区间内，的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分，记为：，即计算方法：求函数的不定积分，只要求得它的一个原函数，加上任意常数即可。不定积分的几何意义：一个原函数对应于一条积分曲线；不定积分对应于积分曲线簇——无穷多条积分曲线，被积函数对应于切线的斜率——同一横坐标处切线平行。【例3】若的导函数是,则的原函数是【答案】【例4】某曲线过点，且其上任一点切线之斜率为该点横坐标之2倍，求此曲线方程。【答案】三、不定积分的性质（1）或或（4）【例5】（90二）设函数在上连续，则等于（B）（C）（D）.【答案】（B）【例6】（89三）在下列等式中，正确的结果是（）（A）.（B）.（C）.（D）.【答案】（C）【例7】（95三）设，则.【答案】四、基本积分表（1）（2）（3）（4）；（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）【例8】求下列不定积分；（2）；【答案】(1)；（2）（4）；【答案】（3）；（4）；（6）【答案】（5）；（6）；（7）；【答案】（7）【例9】求下列不定积分：（1）；（2）【答案】（1）；（2）第二节换元积分法换元积分法是把复合函数的微分法反过来，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。通常分为两类：第一换元积分法和第二换元积分法一、第一换元积分法（凑微分法）定理1（第一类换元法）：设具有原函数，可导，则有第一换元法换元公式：应用方法：若求，如果的形式，则可利用：。【例1】求下列不定积分（1）；（2）；【答案】（1）；（2）（3）；（4）；【答案】（3）；（4）（5）；（6）；【答案】（5）；（6）（7）；（8）；【答案】（7）；（8）（9）；（10）；【答案】（9）；（10）（11）【答案】（11）二、第二换元积分法定理2（第二换元积分法）设为单调，可导且的函数，又有原函数，则：常用第二类换元法：幂代换，三角换元幂代换：含有，（注：都是一次的）【例1】求下列不定积分；【答案】（1）三角换元：代换，辅助三角形其它函数值【例1】求下列不定积分【答案】（2）（3）；【答案】（3）（4）【答案】（4）时，原式时，原式补充公式（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）第三节分部积分法分部积分公式：或【例1】求下列不定积分（1）；（2）；【答案】（1）（2）（3）；（4）；【答案】（3）（4）（5）；【答案】（5）【例2】求下列不定积分（1）；【答案】（1）（2）；【答案】（2）（3）；【答案】（3）第四节有理函数的积分一、简单有理函数的积分方法：将有理函数化为整式加部分分式之和，再进行积分部分分式：【例1】求下列不定积分（1）；【答案】（1）（2）；【答案】（2）（3）；【答案】（3）（4）【答案】（4）二、简单无理函数的积分方法：利用幂代换化无理式为有理式进行积分幂代换：1、含有，令，2、【例2】求下列不定积分（1）【答案】（1）（2）【答案】（2）（3）（93三）【答案】（3）（4）【答案】（4）三、简单三角有理式的积分若被积函数满足，则令若被积函数满足，则令若被积函数满足，则令万能公式，则，，【例3】求下列不定积分（1）（94一）【答案】（1）（2）（96二）求【答案】（2）本章强化练习一、与原函数有关的命题1、（99三）设是连续函数，是的原函数，则（A）当是奇函数时，必为偶函数.（B）当是偶函数时，必为奇函数.（C）当是周期函数时，必为周期函数.（D）当是单调增函数时，必为单调增函数.答案：（A）2、（94三）已知是的一个原函数，求.答案：3、（96三）设，则.答案：二、不定积分的计算1、（89二）求.答案：2、（93一）求.答案：（90二）计算.答案：4、（91二）求.答案：5、（01一）求答案：6、（03二）计算不定积分答案：7、（01二）求答案：（00二）设，计算。答案：9、（99二）.答案：10、（98二）.答案：11、（97二）.答案：12、（97二）计算答案：13、（02三）设，求.答案：14、（06二）求.答案：（98三）.答案：.16、计算答案：17、计算答案：18、（95三）求不定积分.答案：19、求答案：20、设，求答案：