贝塞尔曲线和B样条曲线.doc

§4.3贝塞尔曲线和B样条曲线在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。我们称之为“点点通过”。但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。针对以上要求，法国人Bezier提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。后来又经Gorgon,Riesenfeld和Forrest等人加以发展成为B样条曲线。贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。1.数学表达式n+1个顶点定义一个n次贝塞尔曲线，其表达式为：为各顶点的位置向量，为伯恩斯坦基函数2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即，将其代入曲线表达式：当时：3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即、、、。其中：贝塞尔曲线特点：1.n个顶点定义n-1次曲线，当顶点数较大时，拟合的曲线阶次太高。2.任一顶点对整条曲线的形状都有关系，不利于局部修改。二、B样条曲线用B样条曲线基函数替代伯恩斯坦基函数。1.数学表达式通常，给定m+n+1个顶点可以定义m+1段n次参数函数为：（），其中为B样条分段混合函数，形式为：•段数、次数段数=节点数-次数，每段曲线与n+1个点有关；•2.二次B样条曲线n=2,k=0,1,23.三次B样条曲线n=3,k=0,1,2,3其中，称为特征多边形。例:设，，，，用以上四个点构造2次B样条曲线。由B样条的定义可知，4个点可定义2次B样条曲线2段：m+n+1=4n=2m+1=2t00.20.40.60.81A0.50.320.180.080.020B0.50.660.740.740.660.5C00.020.080.180.320.50.5p0+0.5p10.32p0+0.66p1+0.02p2