深入探究变力做功的求法.doc

--发表于《新高考》深入探究变力做功的求法（南京市第九中学李小满）功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程。基于功和能之间的紧密联系，能否正确求解各种力做功往往成为能否运用功和能关系解题的关键。因此，功尤其是变力做功一直是高考的热点，亦是考生应考的难点，很多学生对此感到无所适从，关键在于没有系统地研究功的求法。本文在简单阐述功的一般求解方法的基础上，着重讨论变力做功的解法。一般来说，功的计算攻势只适用于求恒力做的功，这类问题通常比较简单，本文不做讨论。对于变力做功一般不能依定义式直接求解，但可依据物理规律通过技巧的转化间接求解，主要有微元法、图像法、平均力法、能量法等，各种方法都有优点和缺陷，应该综合运用这些方法。本文以例题讨论各种具体的方法，并指出各种方法适用的条件。【案例分析】一．微元法微元法的基本思路是将物体的运动过程无限分割成若干等份，这时可以认为在每一个极短的时间或过程内，物体所受的力是一个恒力，从而可以运用求解每一个阶段上力所做的功，最后再求这些功的代数和，就是整个过程中该变力所做的功。s1s2s3图1例题1、用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知滑块与轨道间动摩擦因数为μ，滑块质量为m，求此过程中摩擦力做的功。【解析】由题意知，物体受的摩擦力在整个过程中大小F=μmg不变、方向时刻变化，是变力。如果我们把整个圆周分割为无数个小微元段，每一小段可近似看成小直线段，在每一小段上摩擦力方向不变，于是在每一小段上摩擦力做的功都可以用恒力做功的公式计算，然后将各微元段上力所做的功累加起来，便可求得最终的结果。如图，把圆轨道分成s1、s2、s3、……、sn微小段，摩擦力在每一段上为恒力则在每一段上做的功W1=—μmgs1，W2=—μmgs2，W3=—μmgs3，……，Wn=—μmgsn，那么摩擦力在物体运动一周的过程中对物体所做的功为W=W1+W2+W3+……+Wn=—μmg（s1+s2+s3+……+sn）=—μmg·2πR所以滑块运动一周摩擦力做功为—2μmgπR。【总结】从理论上说，微元法适用于求一切力做的功，但是在中学阶段，由于数学知识有限，这种方法只适合于求大小不变，方向变化的变力所做的功，这是因为只有当力的大小不变时，求功的代数和，才可以提取公共项，从而求出最终的结果。二．F-S图像法如图，F-S图像中，图线与坐标轴围成的面积代表力F在相应的位移上对物体做的功。SF0SF0图2图3如果图像比较复杂，例如图2，可以用求积分的方法求面积（功）；如果F-S图像是比较简单的一次函数图像，例如图3，可以用求梯形或三角形面积的方法求功，非常简单。例题2、如图4所示，长度为L的矩形板，以一定的初速度沿光滑的水平面平动时，垂直滑向宽度为l的粗糙地带，板从开始受阻到停下来，所经过路程为s，而l<s<L，设板面与粗糙地带之间的动摩擦因数μ，求此过程中摩擦力对木板做的功。木板vL木板s地地l图4【解析】首先分析运动过程：0→l过程：木块所受的摩擦力逐渐变大，是一个变力，设位移为x时，摩擦力为f，则：作出图像，是正比例图像图5可以用求三角形“面积”的方法求功，l→s过程：这个过程中，摩擦力f是一个恒力，所以：所以，此过程中摩擦力对木板做的功为：三．平均力法如果参与做功的变力，其方向不变，而大小随位移线性变化，则可求出平均力等效代入公式W=scosθ求解。仍以上面的例题为例，采用平均力法求功如下：0→l过程：，摩擦力随位移均匀增大，可以用平均力代替这个变力求功，平均力大小为：l→s过程由动能定理四．动能定理法能是物体做功的本领，功是能量转化的量度.由此，对于大小、方向都随时变化的变力F所做的功，可以通过对物理过程的分析，由其做功的结果——动能的变化来求变力的功：.例题3、一个质量为m的小球拴在细绳的一端，另一端用大小为F1的拉力作用，在水平面上做半径为R1的匀速圆周运动，如图所示。今将力的大小改为F2，使小球仍在水平面上做匀速圆周运动，但半径为R2。小球运动的半径由R1变成R2的过程中拉力对小球做的功多大？mFo图6【解析】本题由于绳的拉力是物体在两个轨道圆周运动的向心力，是变力。在轨道变化过程中该力做功属于变力做功，但不能直接求其功，而是先由向心力公式求出初、末状态动能，再由动能定理求出该力的功。设半径为R1、R2时小球做圆周运动的速度分别为v1、v2，由向心力公式得：根据动能定理：解得：一般来说，如果力的变化情况比较复杂，没有什么变化规律，用动能定理往往能比较简便地求解变力做的功。五．变力做功几种方法的综合运用以上探讨的几种变力做功的解法，每种方法都有优点和缺点，在实际解题时，应该综合运用这些方法，下面以一道例题为例，谈谈如何综合运用这几种方法求解变力做功。例题4、