伴随矩阵的性质及其应用.doc

伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质;(2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质;(3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性;(4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系;(5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质;(6)给出m重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m重伴随矩阵的相应的性质。本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/8163.htm"\t"_blank"统计分析等HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/633795.htm"\t"_blank"应用数学学科中。在HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/15707.htm"\t"_blank"物理学中，矩阵于电路学、HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/34946.htm"\t"_blank"力学、HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/47271.htm"\t"_blank"光学和HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/388084.htm"\t"_blank"量子物理中都有应用；HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/92404.htm"\t"_blank"计算机科学中，HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/87262.htm"\t"_blank"三维动画制作也需要用到矩阵。在HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/443747.htm"\t"_blank"天体物理、HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/2785.htm"\t"_blank"量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。在矩阵计算及讨论中,常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少,以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质伴随矩阵的定义定义1.设是矩阵A=中元素的代数余子式，则矩阵A=称为A的伴随矩阵。定义2.设A为n阶方阵，如果有矩阵B满足AB=BA=E,则B就称为A的逆矩阵，记为B=。*注意：只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。2、伴随矩阵的性质性质1.设A为n阶方阵，AA=AA=E.证明：由行列式按一列（行）展开:AA=AA==E,其中=。性质2.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A非退化，即.证明：若≠0，则A可逆，且=；反之，若A可逆，则有AA-1=E，所以|AA-1|=|A||A-1|=1故|A|=0.即A非退化。性质3.1.若A为非奇异矩阵，则.证明：因为，由性质2两边取逆可得故，另一方面，由性质2有，由.性质3.2.设A为n阶矩阵，则秩A=.证明：（1）当秩A=时，则A是可逆的，即有存在，所以.可见，秩=。反之，当秩=n时，可逆时，则有存在，所以=,有0，因A=0，从而=0，这与秩=矛盾，所以0，于是秩（A）=；（2）当秩（A）=时，则A必有一个阶子式不为0，即中至少有一个元素不为0，所以，秩（），另外秩（A）=.则=0，于是，从而，秩（A）+秩（）反之，若秩（）=1，则中必有一个，即是说必有一个阶子式不为零，故秩但不能有秩（A）=，否则，有秩=，而这样与秩矛盾，所以秩（A），则（A），因此,秩（A）=.（3）当秩（A）<时，则A中一切阶子式均为0，于是一切所以，这时有秩反之，若秩则亦即A的一切阶子式为0，所以秩（A）<.该性质可以用来求A的伴随矩阵的秩，A的秩可以直接求出，通过A的秩可以直接求出A的伴随矩阵.性质4.秩.性质5.=，其中A是n阶方阵（n2）.证明：若0，A