伴随矩阵的性质及其应用.pdf

分类号O15陕西师范大学学士学位论文伴随矩阵的性质及其应用作者单位数学与信息科学学院伴随矩阵的性质及其应用摘要:本文首先采用了分析、归纳和比较的方法对一般伴随矩阵的性质进行了全面地阐述与总结；然后对特殊的伴随矩阵——自伴随矩阵的性质进行了研究与发掘；接着用“等价分类”的思想对n阶实对称自伴随矩阵进行了分类；最后指出了伴随矩阵的性质在硕士研究生考试命题中的应用．关键词:伴随矩阵;自伴随矩阵;伴随矩阵的性质ThequalitiesandapplicationsoftheAdjointMatrixLIXing-feng(Class2,Grade2006,CollegeofMathematicsandInformationScience)Advisor:LecturerYANGXiao-liAbstract:Inthisdissertation,themethodsofanalysis,inductionandcomparisonarefirstlyemployedtoelaborateonthequalitiesofthegeneraladjointmatrixcomprehensivelyandsystematically,secondlythequalitiesofakindofspecialmatrix,i.e.,self-adjointmatrix,areexplored,thenthetechniqueofequivalenceclassificationisusedtoclassifythenorderrealsymmetricself-adjointmatrix.Finally,theapplicationsoftheadjointmatrixanditsqualitiesinthepostgraduateexaminationsareindicated.Keywords:adjointmatrix;self-adjointmatrix;qualitiesofadjoint-matrix;在高等数学中，矩阵扮演了及其重要的角色．例如，在求解线性方程组解的过程中，人们利用矩阵不仅可以简洁明了地表示原先大型复杂的线性方程组，而且根据矩阵的性质还可以方便地判断线性方程组解的情况，甚至还可以用矩阵来表示出线性方程组的解．伴随矩阵是人们在研究逆矩阵时引入的，利用伴随矩阵我们可以得到原矩阵的逆矩阵．而且通过对伴随矩阵的性质的研究[2,4,6]，人们不难发现它与原矩阵之间存在许多相似之处[5]．例如，由原矩阵的可逆性易得到所对应的伴随矩阵的可逆性，1两个矩阵之间的等价、相似、合同等关系也可以被它们所对应的伴随矩阵很好的复制过去，从而通过对伴随矩阵性质的研究可以推测原矩阵的性质．另外，在近几年的数学类硕士研究生招生考试中[3,7,9]，有关伴随矩阵的题目也经常出现．如果考生能够了解一些有关伴随矩阵的性质，那么对他们的解题无疑会有巨大的帮助．因而，对伴随矩阵性质及其应用的研究具有重要的理论意义和应用价值．本文首先将简单介绍伴随矩阵的定义及表示法；然后将系统论证一般伴随矩阵所拥有的共同性质，主要分为两类：其一是关于单个伴随矩阵的性质，其二是关于两个及其以上的伴随矩阵之间关系的性质；接着将对一类特殊伴随矩阵——自伴随矩阵进行研究，并成功对其分类；最后我们将结合实例指出伴随矩阵在研究生入学考试命题中所处重要的地位．1伴随矩阵的定义及其表示1.1伴随矩阵的定义定义1.1.11设A是矩阵ijaaa11121naaaA21222naaan12nnn中元素a的代数余子式，矩阵ijAAA1121n1AAAA1222n2AAA1nn2nn称为A的伴随矩阵．1.2伴随矩阵的表示本文用A表示矩阵A的伴随矩阵．2伴随矩阵的性质及其证明伴随矩阵拥有许多较好的性质，本文以伴随矩阵为研究对象，主要介绍一般伴1随矩阵所共同拥有的性质及特殊伴随矩阵——自伴随矩阵所特有的性质．此外还对实对称自伴随矩阵进行了分类．2.1一般伴随矩阵性质的“共性”一般伴随矩阵具有丰富的性质，文中以性质涉及的伴随矩阵的个数入手，将“共性”分为两类，一类是单个伴随矩阵所有的性质，另一类是两个伴随矩阵传递两个原矩阵之间关系的性质．2.1.1伴随矩阵的自身性质性质2.1.1AAAE证明不妨设aaa11121naaaA21222n．aaan12nnn由A的定义可知：AAA1121n1AAAA1222n2．AAA1nn2nn根据矩阵乘法的法则可知，nnnaAaAaA1i1i1i2i1inii1i