高考数学《空间向量》专题学案：空间向量及其运算.doc

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓第1课时空间向量及其运算基础过关空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是：1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1)向量：具有和的量．(2)向量相等：方向且长度．(3)向量加法法则：．(4)向量减法法则：．(5)数乘向量法则：．2．线性运算律(1)加法交换律：a＋b＝．(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝．(3)数乘分配律：(a＋b)＝．3．共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或．(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，a∥b等价于存在实数，使．(3)直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在，使．4．共面向量(1)共面向量：平行于的向量．(2)共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对()，使P．共面向量定理的推论：．5．空间向量基本定理(1)空间向量的基底：的三个向量．(2)空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组，使．空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组，使．6．空间向量的数量积(1)空间向量的夹角：．(2)空间向量的长度或模：．(3)空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b＝．空间向量的数量积的常用结论：(a)cos〈a、b〉＝；(b)a2＝；(c)ab．(4)空间向量的数量积的运算律：(a)交换律a·b＝；(b)分配律a·(b＋c)＝．典型例题已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求x－y的值.解：易求得变式训练1.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()ABCDA1C1B1A．a＋b＋cB．a＋b＋cC．ab＋cD．ab＋c解：A例2.底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD.证明：记则∴,∴共面.∵B1平面C1BD,AB1//平面C1BD.变式训练2：正方体ABCD－EFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AM＝EN．(1)求证：MN∥平面FC；(2)求证：MN⊥AB；(3)当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多少？解：(1)设(2)(3)设正方体的边长为a,也即，例3.已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，G、H分别是△ABC和△ACD的重心．求证：(1)AD⊥BC；(2)GH∥BD．证明：(1)AD⊥BC．因为ABCD，，而．所以AD⊥BC．(2)设E、F各为BC和CD的中点．欲证GH∥BD，只需证GH∥EF，＝()＝．变式训练3：已知平行六面体，E、F、G、H分别为棱的中点．求证：E、F、G、H四点共面．解：＝＝＝＝，所以共面，即点E、F、G、H共面．例4.如图，平行六面体AC1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P，求AP:PC1的值．DFAGBB1C1D1A1CEP解：设∴又∵E、F、G、P四点共面，∴∴∴AP︰PC1＝3︰16变式训练4：已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证．证明：法一：故法二：·＝(＋)·(＋)＝·＝＝0小结归纳1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝．4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，为与共线的向量，则｜｜＝.5．设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝.