2012年高考数学《空间向量》专题 空间向量的坐标运算学案.doc

第2课时空间向量的坐标运算基础过关设a＝b＝(1)a±b＝(2)a＝．(3)a·b＝．(4)a∥b；ab．(5)设则＝．AB的中点M的坐标为．典型例题例1.若＝(15－1)＝(－235)（1）若(k+)∥(－3)求实数k的值；（2）若(k+)⊥(－3)求实数k的值；（3）若取得最小值求实数k的值．解：(1)；(2)；(3)变式训练1.已知为原点向量∥求．解：设∵∥∴∴即解此方程组得。∴。xyzB1C1A1CBAMN例2.如图直三棱柱底面中CA＝CB＝1棱M、N分别A1B1、A1A是的中点．(1)求BM的长；(2)求的值；(3)求证：．解：以C为原点建立空间直角坐标系.(1)依题意得B（010）M（101）．.(2)依题意得A1（102）B（010）C（000）B1（012）..(3)证明：依题意得C1（002）N.变式训练2.在四棱锥P－ABCD中底面ABCD为矩形侧棱PA⊥底面ABCDAB＝BC＝1PA＝2E为PD的中点．(1)在侧面PAB内找一点N使NE⊥面PAC并求出N点到AB和AP的距离；(2)求(1)中的点N到平面PAC的距离．ABCPED·解：(1)建立空间直角坐标系A－BDP则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(000)、B(00)、C(10)、D(010)、P(002)、E(01)依题设N(x0z)则＝(－x1－z)由于NE⊥平面PAC∴即即点N的坐标为(01)从而N到AB、AP的距离分别为1.(2)设N到平面PAC的距离为d则d＝＝.CDBAPE例3.如图在底面是棱形的四棱锥中点E在上且:＝2:1．(1)证明平面；(2)求以AC为棱与为面的二面角的大小；(3)在棱PC上是否存在一点F使∥平面？证明你的结论．解：（1）证明略；（2）易解得；（3）解以A为坐标原点直线分别为y轴、z轴过A点垂直于平面PAD的直线为x轴建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件相关各点的坐标为所以设点F是棱上的点其中则．令得解得即时．亦即F是PC的中点时共面又平面所以当F是PC的中点时∥平面．例4.如图多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得其中AB＝4BC＝1BE＝3CF＝4.(1)求和点G的坐标；(2)求GE与平面ABCD所成的角；ZADGEFCBxy(3)求点C到截面AEFG的距离．解：(1)由图可知：A(100)B(140)E(143)F(044)∴又∵设G(00z)则(－10z)＝(－101)∴z＝1∴G(001)(2)平面ABCD的法向量设GE与平面ABCD成角为则∴(3)设⊥面AEFG＝(x0y0z0)∵⊥⊥而＝(－101)＝(043)∴取z0＝4则＝(4－34)∵即点C到截面AEFG的距离为．变式训练4.如图四棱锥P—ABCD中底面ABCD是平行四边形PG⊥平面ABCD垂足为GG在AD上且PG＝4BG⊥GCGB＝GC＝2E是BC的中点．(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；PAGBCDFE(2)求点D到平面PBG的距离；(3)若F点是棱PC上一点且DF⊥GC求的值．解：(1)以G点为原点为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则B(200)C(020)P(004)故E(110)＝(110)＝(024)。∴GE与PC所成的余弦值为．(2)平面PBG的单位法向量n＝(0±10).∵∴点D到平面PBG的距离为n|＝.(3)设F(0yz)则。∵∴即∴又即(0z－4)＝λ(02－4)∴z=1小结归纳故F(01)∴。对于以下几类立体几何问题：(1)共线与共面问题；(2)平行与垂直问题；(3)夹角问题；(4)距离问题；(5)探索性问题．运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示本节主要是用单位正交基底表示就是适当地建立起空间直角坐标系把向量用坐标表示然后进行向量与向量的坐标运算最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时一个基本的思路是列方程解方程．