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第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{xn}，若存在常数a，对于任意给定的正数不论它多么小总存在正整数N使得对于n>N时的一切n恒有|xna|<则称a是数列{xn}的极限或者称数列{xn}收敛于a记为limxna或xna(n)n（2）函数极限的定义设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当xM0）有定义，如果存在常数A对于任意给定的正数(不论它多么小)总存在正数（或存在X）使得当x满足不等式0<|xx0|时（或当xX时）恒有|f(x)A|那么常数A就叫做函数f(x)当xx0（或x）时的极限记为limf(x)A或f(x)A(当xx0)（或limf(x)A）xx0x类似的有：如果存在常数A对0,0,当x:x0xx0（x0xx0）时，恒有f(x)A，则称A为f(x)当xx时的左极限（或右极限）记作limf(x)A(且limf(x)A)0xx0xx0显然有limf(x)Alimf(x)limf(x)A)xx0xx0xx0如果存在常数A对0,X0,当xX(且xX)时，恒有f(x)A，则称A为f(x)当x（或当x）时的极限记作limf(x)A(且limf(x)A)xx显然有limf(x)Alimf(x)limf(x)A)xxx2、极限的性质（1）唯一性若limxna，limxnb，则abnn若limf(x)Alimf(x)B，则ABxx(xx0)(xx0)（2）有界性（i）若limxna，则M0使得对nN,恒有xnMn（ii）若limf(x)A，则M0当x:0xx0时，有f(x)Mxx0（iii）若limf(x)A，则M0,X0当xX时，有f(x)Mx（3）局部保号性（i）若limxna且a0(且a0)则NN，当nN时，恒有nxn0(且xn0)（ii）若limf(x)A，且A0(且A0)，则0当x:0xx0时，xx0有f(x)0(且f(x)0)3、极限存在的准则（i）夹逼准则给定数列{xn},{yn},{zn}若①n0N,当nn0时有ynxnzn②limynlimzna，nn则limxnan给定函数f(x),g(x),h(x)，0若①当xU(x0,r)（或xX）时，有g(x)f(x)h(x)②limg(x)limh(x)A，xx(xx0)(xx0)则limf(x)Ax(xx0)（ii）单调有界准则给定数列，若①对有②使对{xn}nNxnxn1(且xnxn1)M(m)nN有xM(且xm)则limxn存在nnn若f(x)在点x的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则limf(x)（或0xx0limf(x)）存在xx04、极限的运算法则（1）若limf(x)A，limg(x)Bxx(xx0)(xx0)则(i)lim[f(x)g(x)]ABx(xx0)(ii)lim[f(x)g(x)]ABx(xx0)f(x)A(iii)lim（B0）xg(x)B(xx0)0（2）设（i）ug(x)且limg(x)u0（ii）当xU(x0,)时g(x)u0xx0（iii）limf(u)Auu0则limf[g(x)]limf(u)Axx0uu05、两个重要极限sinxsinu(x)（1）lim1lim1x0xu(x)0u(x)sinx11lim0，limxsin1，limxsin0xxxxx0xxu(x)11（2）lim1elim1e;xxu(x)u(x)11lim(1x)xelim1v(x)v(x)e;x0v(x)06、无穷小量与无穷大量的概念（1）若lim(x)0，即对0,0,当x:0xx0（或x(xx0)xX）时有(x)，则称当xx0(且且x)(x)无穷小量（2）若limf(x)即对M0,0(且X0),当x(xx0)x:0xx0（或xX）时有f(x)M则称当xx0(且且x)f(x)无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）limf(x)Af(x)A(x