高等数学各章知识点总结——.doc

第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{xn}，若存在常数a，对于任意给定的正数不论它多么小,总存在正整数N,使得对于n>N时的一切n,恒有|xn-a|<则称a是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a,记为或xna(n).（2）函数极限的定义设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当）有定义，如果存在常数A对于任意给定的正数e(不论它多么小),总存在正数d,（或存在X）使得当x满足不等式0<|x-x0|d时,（或当时）恒有|f(x)-A|e,那么常数A就叫做函数f(x)当（或）时的极限,记为或f(x)A(当xx0).（或）类似的有：如果存在常数A对当（）时，恒有，则称为当时的左极限（或右极限）记作显然有如果存在常数A对当时，恒有，则称为当（或当）时的极限记作显然有2、极限的性质（1）唯一性若，，则若，则（2）有界性（=1\*romani）若，则使得对恒有（=2\*romanii）若，则当时，有（=3\*romaniii）若，则当时，有（3）局部保号性（=1\*romani）若且则，当时，恒有（=2\*romanii）若，且，则当时，有3、极限存在的准则（=1\*romani）夹逼准则给定数列若=1\*GB3①当时有=2\*GB3②，则给定函数，若=1\*GB3①当（或）时，有=2\*GB3②，则（=2\*romanii）单调有界准则给定数列，若=1\*GB3①对有=2\*GB3②使对有则存在若在点的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则（或）存在4、极限的运算法则（1）若，则(i)(ii)(iii)（）（2）设（=1\*romani）（=2\*romanii）当时（=3\*romaniii）则5、两个重要极限（1），，（2）6、无穷小量与无穷大量的概念若，即对当（或）时有，则称当无穷小量若即对当（或）时有则称当无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）（2）（3）（4）当（或）时有，则（5）当（或）时有，则（6）则8、无穷小量的比较若（1），则称当时，与是同阶无穷小。（2），则称当时，与是等价无穷小，记作（）。（3），则称当时，是是高阶无穷小，记作（）。（4）（或），有，则记（）（5），则称当时，是是k阶无穷小，9、常用的等价无穷小当时，有（1）（2）（3）（4）10、函数连续的概念函数连续的定义设在点及其邻域内有定义，若（=1\*romani）或（=2\*romanii）或（=3\*romaniii）当时，有则称函数在点处连续设在点内有定义，若，则称函数在点处左连续，设在点内有定义，若，则称函数在点处右连续若函数在内每点都连续，则称函数在内连续若函数在内每点都连续，且，，则称函数在上连续，记作函数的间断点设在点的某去心邻域内有定义若函数：（=1\*romani）在点处没有定义（=2\*romanii）虽然在有定义,但f(x)不存在;(3)虽然在有定义且f(x)存在,但f(x)¹f();则函数f(x)在点为不连续,而点称为函数f(x)的不连续点或间断点。设点为的间断点，（1），则称点为的可去间断点，若（2），则称点为的跳跃间断点，可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点（3）则称点为的无穷型间断点，（4）若不存在且都不是无穷大，则称点为的振荡型间断点，无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点11、连续函数的运算连续函数的四则运算若函数在点处连续则在点处也连续反函数的连续性，若函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，则其反函数在其对应的区间上也单调增加（或单调减少）且连续。复合函数的连续性设函数由函数复合而成，，若（1）（2）则（或）初等函数的连续性一切初等函数在其定义区间内都是连续的闭区间上连续函数的性质（=1\*romani）有界性若，则在上有界（=2\*romanii）最大值、最小值定理，若，则在上一定有最大值和最小值（=3\*romaniii）零点性若，且则至少存在一点使得（=4\*romaniv）介值性若，且，是介于之间的任一值，则至少存在一点使得