8721648_李囡囡_矩阵在解线性方程组中的应用(12)_矩阵在解线性方程组中的应用(12).docx

18矩阵在解线性方程组中的应用摘要线性方程组的求解是代数学中一个比较重要的内容.线性方程组求解过程中，掌握各种求解线性方程组的方法是至关重要的.基于线性方程组和矩阵之间的联系，可以用线性方程组系数和常数项所构成的行列式矩阵来研究线性方程组的求解问题.本文主要讨论矩阵的秩在方程组的解的判断中的应用、矩阵的初等变换在解线性方程组中的应用.关键词:矩阵；线性方程组；矩阵的秩；初等变换TheapplicationofmatrixinsolvinglinearequationsABSTRACTThesolutionoflinearequationsisanimportantpartofalgebra.Intheprocessofsolvinglinearequations,itisveryimportanttomastervariousmethodsofsolvinglinearequations.Basedontherelationshipbetweenlinearequationsandmatrix,thedeterminantmatrixcomposedofcoefficientandconstanttermoflinearequationscanbeusedtostudythesolutionoflinearequationsThispapermainlydiscussestheapplicationoftherankofmatrixinthejudgmentofthesolutionofequationsandtheapplicationoftheelementarytransformationofmatrixinthesolutionoflinearequations.Keywords:matrix；linear；equations；rankofmatrix；Elementarytransformation目录摘要3ABSTRACT4一、引言6二、线性方程组的有关概念62.1线性方程组的定义62.2线性方程组的一般解法7三、矩阵的有关概念83.1矩阵的概念83.2矩阵的初等变换83.3矩阵的秩93.4基于矩阵的线性方程组解的判断条件10四、矩阵在解线性方程组中的应用以及解题思路11结束语14参考文献15致谢16一、引言矩阵和线性代数在高等代数中占据重要的位置,而解线性方程组在高等代数中也是十分重要的知识点.中学时我们也初步了解并学习了解简单的线性方程组，知线性方程组的重要性，但是不是每一个线性方程组都有解，所以我们首先要做的就是判断线性方程组有无解，通过对矩阵的学习，我们知道矩阵的秩可以判断线性方程组有无解，在有解的情况下可以利用矩阵求解线性方程组.在文献[2]、[9]中都是利用矩阵的初等变换求齐次线性方程组的解，我们可以知道矩阵的初等变换有很重要的作用.本文研究矩阵在判断线性方程组的解以及在解线性方程组中的应用.在文献[1]中更多的是一些关于矩阵，线性方程组的简单定义.在文献[3]主要讲矩阵在解方程组的应用.二、线性方程组的有关概念2.1线性方程组的定义定义1[1]一般线性方程组是指形式为的方程组，其中,,...,代表n个未知量，s表示方程的个数.如果已知一个线性方程组的全部系数与常数项，那么这个线性方程组就可以确定了，线性方程组就可以用下面的矩阵进行表示.令，,，可知线性方程组的系数矩阵，未知数矩阵为X，常数项矩阵为b，则可得到AX=b.若常数项矩阵为零矩阵即AX=0，那么我们称之为齐次线性方程组.反之，若常数项矩阵为非零矩阵，则称为非齐次线性方程组.2.2线性方程组的一般解法对于线性方程组的求解,除了可以进行特殊变换而获得特定形式的特殊型之外,还有两种线性方程组的一般解法:①消元法[1]所谓消元法,就是首先用初等变换将线性方程组化为阶梯形方程组,把最后一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉,如果剩下的方程当中最后是零等于一个非零的数,那么方程组无解,否则有解.在有解的情况下,如果阶梯形方程组中方程的个数r等于为知量的个数,那么方程组有唯一的解,如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数,那么方程组有无穷多个解.消元法也是我们在中学时解线性方程组是常用的一种方法,但当未知量有n个的时候,一个一个的消元工作量也会很大.②克拉默法则[1]克拉默法则是建立在逆矩阵的使用基础上,对于线性方程组进行的一般解法,但要注意的是,使用克拉默法则求解线性方程组是有条件的:一是方程组必须是线性的,二是待求解的线性方程组的方程的个数等于未知量的个数,三是线性方程组的系数行列式D不等于0,满足以上三种情况则可使用克拉默法则.下面给出克拉默法则的一般描述:如果线性方程组的系数矩阵的行列式,即系数行列式d=0,那么线性方程组有解,而且解是唯一