用复数证明余弦定理.docx

用复数证明余弦定理用复数证明余弦定理法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acosB,asinB).根据向量的运算：=(-acosB,asinB)，=-=(bcosA-c,bsinA),(1)由=：得asinB=bsinA,即=.同理可得：=.∴==.(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，又||=a,∴a2=b2+c2-2bccosA.同理：c2=a2+b2-2abcosC;b2=a2+c2-2accosB.法二：如图5，,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知，即将(1)式改写为化简得b2-a2-c2=-2accosB.即b2=a2+c2-2accosB.(4)这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理.2在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b则c^2=a^2+b^2-2ab*cosCa^2=b^2+c^2-2bc*cosAb^2=a^2+c^2-2ac*cosB下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a由勾股定理得：c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2=a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2=a^2+b^2-2a*CD因为cosC=CD/b所以CD=b*cosC所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC题目中^2表示平方。2谈正、余弦定理的多种证法聊城二中魏清泉正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的`等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则(1)(正弦定理)==;(2)(余弦定理)c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.一、正弦定理的证明证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有AD=b•sin∠BCA，BE=c•sin∠CAB，CF=a•sin∠ABC。所以S△ABC=a•b•csin∠BCA=b•c•sin∠CAB=c•a•sin∠ABC.证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有AD=b•sin∠BCA=c•sin∠ABC，BE=a•sin∠BCA=c•sin∠CAB。证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。因为AB=AC+CB，所以j•AB=j•(AC+CB)=j•AC+j•CB.因为j•AC=0，j•CB=|j||CB|cos(90°-∠C)=a•sinC，j•AB=|j||AB|cos(90°-∠A)=c•sinA.二、余弦定理的证明法一：在△ABC中，已知，求c。过A作，在Rt中，，法二：，即：法三：先证明如下等式：⑴证明：故⑴式成立，再由正弦定理变形，得结合⑴、有即.同理可证.三、正余弦定理的统一证明法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acosB,asinB).根据向量的运算：=(-acosB,asinB)，=-=(bcosA-c,bsinA),(1)由=：得asinB=bsinA,即=.同理可得：=.∴==.(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，又||=a,∴a2=b2+c2-2bccosA.同理：c2=a2+b2-2abcosC;b2=a2+c2-2accos