高中数学讲义100微专题067圆锥曲线的性质.doc

微专题67圆锥曲线的性质一、基础知识（一）椭圆：1、定义和标准方程：（1）平面上到两个定点的距离和为定值（定值大于）的点的轨迹称为椭圆，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距（2）标准方程：①焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中②焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2、椭圆的性质：以焦点在轴的椭圆为例：（1）：与长轴的顶点有关：，称为长轴长：与短轴的顶点有关：，称为短轴长：与焦点有关：，称为焦距（2）对称性：椭圆关于轴，轴对称，且关于原点中心对称（3）椭圆上点的坐标范围：设，则（4）通径：焦点弦长的最小值①焦点弦：椭圆中过焦点的弦②过焦点且与长轴垂直的弦说明：假设过，且与长轴垂直，则，所以，可得。则（5）离心率：，因为，所以（6）焦半径公式：称到焦点的距离为椭圆的焦半径①设椭圆上一点，则（可记为“左加右减”）②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为，最小值为（7）焦点三角形面积：（其中）证明：且因为，所以，由此得到的推论：①的大小与之间可相互求出②的最大值：最大最大最大为短轴顶点（二）双曲线：1、定义：平面上到两个定点距离差的绝对值为一个常数（小于）的点的轨迹称为双曲线，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程：①焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中②焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数2、双曲线的性质：以焦点在轴的双曲线为例：（1）：与实轴的顶点有关：，称为实轴长：与虚轴的顶点有关：，称为虚轴长：与焦点有关：，称为焦距（2）对称性：双曲线关于轴，轴对称，且关于原点中心对称（3）双曲线上点坐标的范围：设，则有或，（4）离心率：，因为，所以（5）渐近线：当或时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。①双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出关于的直线即可。例如在中，求渐近线即解：，变形为，所以即为双曲线的渐近线②渐近线的几何特点：直线所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线③渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现的关系。（6）通径：①内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦轴，（7）焦半径公式：设双曲线上一点，左右焦点分别为，则①（可记为“左加右减”）②由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为（8）焦点三角形面积：设双曲线上一点，则（其中）（三）抛物线：1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线2、抛物线的标准方程及焦点位置：（1）焦点在轴正半轴：，焦点坐标（2）焦点在轴负半轴：，焦点坐标（3）焦点在轴正半轴：，焦点坐标（4）焦点在轴负半轴：，焦点坐标小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4，例如：，则焦点在轴上，且坐标为3、焦半径公式：设抛物线的焦点为，，则4、焦点弦长：设过抛物线焦点的直线与抛物线交于，则（，再由焦半径公式即可得到）二、典型例题：例1：已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A.B.C.D.思路：先从常系数方程入手，抛物线的焦点为，即双曲线中的，所以，从而双曲线方程为：，其渐近线方程：，由对称性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择，右焦点，所以答案：A小炼有话说：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标，进而解出其他圆锥曲线的要素答案：A例2：已知双曲线的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线的焦点重合，直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则（）A.B.C.D.思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以作为核心变量，抛物线的焦点为，所以可得，因为，所以双曲线方程为，可求得渐近线方程为，不妨设与平行，则有。从相切可想到与抛物线联立消元后的方程：，所以解得答案：A例3：如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，将的离心率分别记为，点是在第一象限的公共点，若的一条渐近线是线段的中垂线，则（）A.B.C.D.思路：椭圆与双曲线共焦点，所以有，所求表达式，本题与焦半径相关，所以考虑。结合的中点与的中点可得双曲线的渐近线与平行，从而，所以有