高中数学讲义100微专题011函数零点的性质问题.doc

微专题11函数零点的性质一、基础知识：1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫（3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。三者转化：函数的零点方程的根方程的根函数与的交点2、此类问题的处理步骤：（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值，3、常见处理方法：（1）代换法：将相等的函数值设为，从而用可表示出，将关于的表达式转化为关于的一元表达式，进而可求出范围或最值（2）利用对称性解决对称点求和：如果关于轴对称，则；同理，若关于中心对称，则也有。将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系二、典型例题：例1：已知函数，若，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.思路：先做出的图像，通过图像可知，如果，则，设，即，由范围可得：，从而，所以，而，所以答案：C小炼有话说：（1）此类问题如果图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点（2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量，从而用表示出，达到消元效果，但是要注意是有范围的（通过数形结合需与有两交点）；一个是通过图像判断出的范围，从而去掉绝对值。例2：已知函数，若有三个不同的实数，使得，则的取值范围是________思路：的图像可作，所以考虑作出的图像，不妨设，由图像可得：，且关于轴对称，所以有，再观察，且，所以，从而答案：小炼有话说：本题抓住关于对称是关键，从而可由对称求得，使得所求式子只需考虑的范围即可例3：定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A.B.C.D.思路：为奇函数，所以考虑先做出正半轴的图像，再利用对称作出负半轴图像，当时，函数图象由两部分构成，分别作出各部分图像。的零点，即为方程的根，即图像与直线的交点。观察图像可得有5个交点：关于对称，，且满足方程即，解得：，关于轴对称，答案：B例4：已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（）A.B.C.D.思路：从解析式中发现可看做与的交点，可看做与的交点，且，从而均可由进行表示，所以可转化为关于的函数，再求最小值即可解：由图像可得：答案：B例5：已知函数有两个不同的零点，则（）A.B.C.D.思路：可将零点化为方程的根，进而转化为与的交点，作出图像可得，进而可将中的绝对值去掉得：，观察选项涉及，故将②①可得：，而为减函数，且，从而，即答案：D例6：已知函数，存在，，则的最大值为思路：先作出的图像，观察可得：，所求可先减少变量个数，利用可得：，从而只需求出在的最小值即可：，所以函数在单增，在单减。从而答案：例7：已知定义在上的函数满足：，且，，则方程在区间上的所有实根之和为（）A.B.C.D.思路：先做图观察实根的特点，在中，通过作图可发现在关于中心对称，由可得是周期为2的周期函数，则在下一个周期中，关于中心对称，以此类推。从而做出的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看图像，，可视为将的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位，所以对称中心移至，刚好与对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点，其中，与关于中心对称，所以有。所以答案：C例8：函数，直线与函数的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为，有以下四个结论①②③④若关于的方程恰有三个不同实根，则的取值唯一则其中正确的结论是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④思路：本题涉及到的取值，及4个交点的性质，所以先作出的图像，从而从图上确定存在个交点时，的范围是，所以①正确。从图像上可看出在同一曲线，在同一曲线上，所以②③在处理时将放在一组，放在一组。②涉及到根的乘积，一方面为方程的两根，所以由韦达定理，可得，而为方程的两根，且，从而，即，所以有，②正确③由②中的过程可得：，，所以，从而，而，设，则为增函数，所以③正确④可将问题转化为与的交点个数问题，通过作图可得的值不唯一综上所述：①②③正确答案：A例9：已知函数，若，且，则的值（）A.恒小于2B.恒大于2C.恒等于2D.与相关思路：观察到当时，为单调函数，且时，的图像相当于作时关于对称的图像再进行上下平移，所以也为单调函数。由此可得时，必在两段上。设，可得，考虑使用代换法设，从而将均用表示，再判断与的大小即可。解：设，不妨设，则若，则为减函数，且若，则为增函数，且的值恒大于2