高中数学讲义100微专题078定值问题.doc

微专题78圆锥曲线中的定值问题一、基础知识：所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值。1、常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数。2、定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向。（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算二、典型例题：例1：已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于），直线分别于直线交于两点（1）求双曲线的方程（2）试判断是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由解：（1）由可得，且焦点在轴上所以设双曲线方程为：，则渐近线方程为由解得：双曲线方程为（2）由（1）可得：，设设，联立方程解得：同理：设，联立方程可得：下面考虑计算的值在双曲线上所以为定值例2：已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆方程（2）设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率依次为，且满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由解：（1）由可得：椭圆方程为代入可得：解得：椭圆方程为（2）设，联立方程可得：消去可得：，整理可得：依题意可知：即①由方程可得：代入①可得：，整理可得：可知为定值，与的取值无关例3：已知椭圆经过点，，动点（1）求椭圆标准方程（2）设为椭圆的右焦点，过作的垂线与以为直径的圆交于点，求证：的长为定值，并求出这个定值解：（1）由可得：椭圆方程可转化为：，将代入椭圆方程可得：，解得：椭圆方程为（2）由（1）可得：思路一：通过圆的性质可得，而（设垂足为），由双垂直可想到射影定理，从而，即可判定为定值，设与相交于则解得：为圆的直径由射影定理可得：思路二：本题也可从坐标入手，设，则只需证明为定值即可，通过条件寻找关系，一方面：，可得；另一方面由点在圆上，可求出圆的方程，从而，展开后即可得到为定值解：设，则的中点坐标为，以为直径的圆方程为：代入，可得：即例4：已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于两点，为坐标原点（1）求椭圆的方程（2）设，延长分别与椭圆交于两点，直线的斜率为，求证：为定值解：（1），设由可得：（2）由（1）可得，设可得：联立方程同理，直线与椭圆交点的坐标为设，代入可得：小炼有话说：本题中注意的变形：可通过直线方程用表示，代入后即可得到关于的表达式例5：已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点（1）求椭圆的标准方程（2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线的横纵截距分别为，求证：为定值解：（1）依可知椭圆方程为代入解得：椭圆方程为（2）思路：由（1）可得：，可设，由题意可知为过作圆切线所产生的切点弦，所以,从而可得，所以，由椭圆方程可得，从而为定值解：由（1）可得：设可知是过作圆切线所产生的切点弦设，由是切点可得：，代入：，即，同理可知对于，有因为在圆上为直线上的点因为两点唯一确定一条直线，即由截距式可知在椭圆上即为定值小炼有话说：（1）本题定值是通过整体代入的手段，即抓住最后的特点整体消去所得，所以在处理定值问题时，涉及的变量个数可以多，但是要有一定的条件保证能够消去。（2）本题求直线方程的过程即为切点弦公式证明的过程，此时抓住两点所在方程“同构”的特点，从而确定直线方程注：切点弦方程：过圆外一点作圆的切线，切点为，则切点弦的方程为：例6：如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆，设为椭圆上任意一点。过原点作圆的两条切线，分别交椭圆于（1）若直线相互垂直，求的方程（2）若直线斜率存在，并记为，求证：是一个定值（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由解：（1）由可得，即联立方程：或或或的方程为：或或或（2）思路：可设直线，均与圆相切，可得（其中）化简可得：，可发现均满足此方程，从而为的两根。则，再利用椭圆方程消元即可得到定值解：设与相切化简可得：对于，同理可得：为的两根（3）思路：设，，由第（2）问所得结论，可以考虑通过联立直线与椭圆方程将坐标分别用进行表示，再判断是否为定值解：当不在坐标轴上时，设同理可得：若在坐标轴上（不妨设在轴）上，则综上所述，为定值例7：已知椭圆，称圆心在原点，半径为的圆为椭圆的“准圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为（1）求椭圆的方程及其“准圆”方