高中数学讲义100微专题089比赛与闯关问题.doc

微专题89比赛与闯关问题一、基础知识：1、常见的比赛规则（1）局胜制：这种规则的特点为一旦某方获得次胜利即终止比赛。所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到胜。例如：甲，乙两队举行排球比赛，比赛采取5局3胜制，已知甲获胜的概率为，求甲以获胜的概率：解：本题不能认为“四局中甲赢得三局”，从而，因为如果前三局连胜，则结束比赛而不会开始第四局，所以若比分为，则第四局甲获胜，前三局的比分为，所以（2）连胜制：规定某方连胜场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后场连胜且之前没有达到场连胜。例如：甲，乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止。已知甲获胜的概率为，求甲在第5局终止比赛并获胜的概率解：若第5局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第3,4,5局获胜，且第二局失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果。所以（3）比分差距制：规定某方比对方多分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于（4）“一票否决制”：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰。此类问题要注意若达到第阶段，则意味着前个阶段均能通关2、解答此类题目的技巧：（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”。例如：表示“第局比赛胜利”，则表示“第局比赛失败”。（2）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用解出所求事件概率。在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件概率二、典型例题：例1：某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手被淘汰的概率；（2）记该选手在考核中回答问题的个数为，求随机变量的分布列与数学期望．（1）思路：依题可知，比赛规则为：只要打错一个即被淘汰，如果从问题的正面考虑，则要考虑到是第几轮被淘汰，情况较多。但此问题的反面为“答对所有问题”，概率易于表示，所以考虑利用对立事件进行求解设为“选手正确回答第轮问题”，事件为“选手被淘汰”（2）思路：可取的值为，可知若想多答题，则需要前面的问题均要答对，所以时，则第一题答错；时，则第一题答对且第二题答错（若第二题答对则需要答第三题）；时，则第一题答对且第二题答对（第三题无论是否正确，均已答三题），分别求出概率即可解：可取的值为的分布列为例2：某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得分，负者得分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为．（1）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率；（2）设在该次比赛中，甲队得分为，求的分布列及期望．（1）思路：解决要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件。若甲队第一名，则甲战胜乙且战胜丙，即；若乙队第一名，则乙战胜甲且战胜丙，即，两个方程即可解出解：设事件为“甲队获第一名”，则设事件为“乙队获第一名”，则解得：（2）思路：依题意可知可取的值为，即两战全负；即一胜一负，要分成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论；即两战全胜；分别求出概率即可。可取的值为的分布列为例3：甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为．（1）求甲队分别以，获胜的概率；（2）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．（1）思路：前四场比赛甲乙比分为，根据7场4胜制可知，甲再赢一场比赛立刻结束，所以要想获得，，必须在甲赢一场之前，乙获得比分。所以若比分为，则第5场乙胜，第6场甲胜；若比分为，则第场均乙胜，第7场甲胜，用概率的乘法即可求出两个比分的概率解：设事件为“甲队在第场获胜”，则设事件为“甲队4：2获胜”，事件为“甲队4：3获胜”（2）思路：比赛的场数取决于甲是否取胜，所以可取的值为，若，则甲获胜，即胜第五场；若则甲获胜，即乙胜第五场，甲胜第六场；若，则只需前六场打成即可，所以只需乙连赢两场。分别计算概率即可得到分布列和期望比赛场数可取的值为的分布列为例4：甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束。棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军。设结束时对弈的总局