高中数学讲义100微专题028三角函数性质.doc

微专题28三角函数及函数性质一、基础知识：1、正弦函数的性质（1）定义域：（2）值域：（3）周期：（4）对称轴（最值点）：（5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数（6）单调增区间：单调减区间：2、余弦函数的性质（1）定义域：（2）值域：（3）周期：（4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数（5）对称中心（零点）：（6）单调增区间：单调减区间：3、正切函数的性质（1）定义域：（2）值域：（3）周期：（4）对称中心：（5）零点：（6）单调增区间：注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的的值4、的性质：与正弦函数相比，其图像可以看做是由图像变换得到（轴上方图像不变，下方图像沿轴向上翻折），其性质可根据图像得到：（1）定义域：（2）值域：（3）周期：（4）对称轴：（5）零点：（6）单调增区间：单调减区间：5、的性质：此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：（1）定义域：（2）值域：（3）周期：（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。通常设，其中，则函数变为，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出所满足的条件，然后将还原为再解出的值（或范围）即可注：1、余弦函数也可看做的形式，即，所以其性质可通过计算得到。2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为，再求其性质二、典型例题：例1：函数（）A.在上单调递减B.在上单调递增C.在上单调递减D.在上单调递增思路：单调递增区间：单调递减区间：符合条件的只有D答案：D例2：函数的一个单调递减区间为（）A.B.C.D.思路：先变形解析式，，再求出单调区间：，时，D选项符合要求答案：D例3：的递减区间为（）A.B.C.D.思路：在解函数性质之前首先把的系数变正：，再求其单调区间：，由于，所以区间等同于答案：D例4：已知函数，则下列关于函数性质判断正确的是（）A.最小正周期为，一个对称中心是B.最小正周期为，一个对称中心是C.最小正周期为，一个对称中心是D.最小正周期为，一个对称中心是思路：对称中心：时，一个对称中心是答案：A例5：函数的单调递增区间为（）A.B.C.D.思路：求单调区间可设，即，只需找到所满足的条件然后解出的范围即可。的取值需要满足两个条件，一是保证，二是取单调增的部分，所以可得：，即，解得：答案：A例6：设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（）A.是偶函数B.的最小正周期是C.图像关于点对称D.在区间上是增函数思路：先判断的周期，可结合图像进行判断，可得：；对于对称轴，对称中心，单调区间，可考虑设，即，借助图像先写出所符合的条件，再求出的值（或范围）即可。对称轴：，不是偶函数对称中心：，关于点对称单调增区间：答案：C例7：函数的图像的两条相邻对称轴间的距离为（）A.B.C.D.思路：根据图像的特点可得：相邻对称轴之间的距离是周期的一半，所以间距为：答案：B例8：已知函数的图像关于直线对称，则的值为_______思路一：可以利用辅角公式变形为的形式，但是由于系数含参，所以辅角只能用一个抽象的代替：因为关于直线对称，思路二：本题还可以利用特殊值法求出的值，再进行验证即可：因为关于直线对称，所以代入一组特殊值：，再代入验证，其一条对称轴为，符合题意答案：例9：已知在单调递增，求的取值范围思路：的图像可视为仅由放缩得到。，由在单调递增可得：，即答案：例10：已知函数在区间上为增函数，且图像关于点对称，则的取值集合为______________思路：的图像可视为的图像横坐标变为了，，则，因为在上单调增，所以，即；另一方面，的对称轴为，所以解得，再结合可得答案：三、近年好题精选1、函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称2、（2015，湖南）将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（）A.B.C.D.3、（2016，重庆万州二中）若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（）A.B.C.D.4、将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（）A.B.C.D.5、（2015，天津）一直函数，若函数在内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为_______6、（2014，安徽）若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是__________7、（2014，北京）设函数（是常数，）若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为______8、已知的图像在上恰有一个对称轴和一个对称中心，则实数的取值范围是______9、（2014，福建）已知函数（1）